山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）7.9最小多项式

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY *7.9 最小多项式

*7.9 最小多项式

山东程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义如果多项式∫(x)使f(A)=0,就称f(x)以A为根. 其中次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的 最小多项式 引理1矩阵A的最小多项式是唯一的. 引理2设9(x)是矩阵A的最小多项式，那么，f(x)以A为 根的充分必要条件是g(x)整除f(x). ·矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式

最小多项式

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1数量矩阵kE的最小多项式为x一飞，特别地， 单位矩阵E的最小、多项式为X一1， 零矩阵0的最小多项式为X. ·如果A的最小多项式是1次多项式，那么，A一定是 数量矩阵

数量矩阵

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1 相似矩阵有相同的最小、多项式. ·最小、多项式相同的矩阵不一定是相似的

定理1 相似矩阵有相同的最小多项式. • 最小多项式相同的矩阵不一定是相似的

山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 创3 设 A与B的最小多项式都等于(x-1)(x-2),但是 它们的特征多项式不同，因此A和B不是相似的

例 3 设

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面的引理. 引理3设A是一个准对角矩阵 4=(aa） 并设A1的最小多项式为g1(x),A2的最小多项式为92(x), 那么，A的最小多项式为91(x)，92(x)的最小公倍式 [g1(x),92(x)]

为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面的引理

山东程子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 这个结论可以推广到A为若干个矩阵组成的准对角矩阵 的情形.即：如果 /A1 A= A2 A;的最小多项式为9：(x),i=1,2,.,S,那么A的最小 多项式为[91(x),92(x),.,9s(x)]

的情形. 即：如果

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理4飞级若尔当块 1 的最小多项式为(x一)

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY u 矩阵可对角化的条件 定理2数域P上阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要 条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积. 推论复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的 最小多项式没有重根

u 矩阵可对角化的条件 最小多项式没有重根