山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）9.1 定义与基本性质

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9.1 定义与基本性质

加求理工大 主要内容 。内积 长度 夹角 。度量矩阵

主要内容 内积 长度 度量矩阵 夹角

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、内积 1.定义 定义1 设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二 元实函数，如果它具有以下性质，则称为内积，记作(，B) 1)对称性 (&,B)=(B,x); 2)线性性 (ka,B)=k(a,B); 3)线性性 (a+B,Y)=(a,Y)+(B,Y) 4)正定性 (,)≥0，当且仅当C=0时(a,)=0

一、内积 1. 定义 定义1 设𝑉是实数域𝑅上一线性空间，在𝑉上定义了一个二 元实函数，如果它具有以下性质，则称为内积，记作 𝛼, 𝛽 . 4) 正定性 𝛼, 𝛼 ≥ 0，当且仅当 𝛼 = 0时 𝛼, 𝛼 = 0. 1) 对称性 (𝛼, 𝛽) = (𝛽, 𝛼)； 2) 线性性 𝑘𝛼, 𝛽 = 𝑘 𝛼, 𝛽 ； 3) 线性性 𝛼 + 𝛽, 𝛾 = 𝛼, 𝛾 + (𝛽, 𝛾)

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 这里，B,Y是V中任意的向量，飞是任意实数，这样的线性 空间V称为欧几里得空间，简称为欧氏空间. ·在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的， ·几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间·

这里 𝛼, 𝛽, 𝛾 是 𝑉 中任意的向量，𝑘 是任意实数，这样的线性 空间 𝑉 称为欧几里得空间,简称为欧氏空间. • 在欧氏空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求， 可以是有限维的，也可以是无限维的. • 几何空间中向量的数量积显然适合定义中列举的性质， 所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在线性空间R中，对于向量 a=(a1,a2,.,an),B=(b1,b2,.,bn), 定义内积 (a,β)=a1b1+a2b2+.+anbn. (1) 显然，内积()适合定义中的条件，这样，R”就成为一个 欧几里得空间.以后仍用Rn来表示这个欧几里得空间. ·在几=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角 坐标系中的坐标表达式：

例 1 在线性空间 𝑅𝑛 中，对于向量 𝛼 = (𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 ) , 𝛽 = (𝑏1 , 𝑏2 , ⋯ , 𝑏𝑛 ) , 定义内积 𝛼, 𝛽 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 . (1) 显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样，𝑅 𝑛就成为一个 欧几里得空间. 以后仍用 𝑅𝑛 来表示这个欧几里得空间. • 在 𝑛 = 3 时，(1) 式就是几何空间中向量的内积在直角 坐标系中的坐标表达式

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 创2在闭区问[α，b]上的所有实连续函数所成的空间 C[a,b]中，对于函数f(x),g(x)定义内积 (f(x),g(x))=Jf(x)g(x)dx (2) 由定积分的性质不难证明，对于内积(2)，C[,b]构成一个 欧几里得空间. 同样地，线性空间R[x],R[x]n对于内积(2)也构成欧几里 得空间

例 2 在闭区间 [𝑎 , 𝑏] 上的所有实连续函数所成的空间 𝐶[𝑎 , 𝑏] 中，对于函数 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) 定义内积 由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)， 𝐶[𝑎 , 𝑏]构成一个 欧几里得空间. ��׬ = �� �� , �� �� 𝑏 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 d𝑥 (2) 同样地，线性空间 𝑅[ 𝑥 ] , 𝑅[ 𝑥 ]𝑛 对于内积 (2)也构成欧几里 得空间

山东理子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 创3在R2中，Ha=(a1,a2),B=(b1,b2),定义 (a,B)=5a1b1+2a1b2+2a2b1+a2b2 验证(，B)构成了一个内积

例3 在𝑅 2中，∀ 𝛼 = 𝑎1 , 𝑎2 , 𝛽 = 𝑏1 , 𝑏2 , 定义 𝛼, 𝛽 = 5𝑎1𝑏1 + 2𝑎1𝑏2 + 2𝑎2𝑏1 + 𝑎2𝑏2 验证 𝛼, 𝛽 构成了一个内积

山东濯工大深 3.欧几里得空间的性质 下面来看欧几里得空间的一些基本性质. 首先，定义中条件1)表明内积是对称的.因此，与2)、3) 相当地就有 2')(a,kB)=(kB,a)=k(B,)=k(a,B); 3)(a,B+Y)=(B+Y,a)=(Ba)+(y,a) =(a,)+(,Y)

3. 欧几里得空间的性质 下面来看欧几里得空间的一些基本性质. 首先，定义中条件1)表明内积是对称的. 因此，与2)、3) 相当地就有 3  ) (𝛼, 𝛽 + 𝛾) = (𝛽 + 𝛾, 𝛼) = (𝛽, 𝛼) + (𝛾, 𝛼) = (𝛼, 𝛽) + (𝛼, 𝛾) . 2  ) 𝛼, 𝑘𝛽 = 𝑘𝛽, 𝛼 = 𝑘 𝛽, 𝛼 = 𝑘(𝛼, 𝛽)；

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、长度 1.定义 定义2非负实数√(，)称为向量的长度，记为IQ|. 向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零 2.单位向量 长度为1的向量称为单位向量， 如果a≠0，则由|ka=klal知，向量高a是一个单住向量 通常称为把单位化

二、长度 1. 定义 定义 2 非负实数 (𝛼, 𝛼)称为向量 𝛼 的长度，记为 |𝛼|. • 向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零. 2. 单位向量 长度为 1 的向量称为单位向量. 如果 𝛼  0，则由|𝑘𝛼| = |𝑘||𝛼|知， 通常称为把  单位化. 向量 1 𝛼 𝛼是一个单位向量

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.性质 性质1设k∈R,a∈V,则有 Ikal=kllal. (3) 性质2 柯西·布涅柯夫斯基不等式 设，B是任意两个向量，则 I(a,B)川≤lal 1B1, (4) 当且仅当，B线性相关时，等号才成立

3. 性质 性质1 设 𝑘 ∈ 𝑅, 𝛼 ∈ 𝑉 , 则有 |𝑘𝛼| = |𝑘||𝛼|. (3) 性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式 设 𝛼, 𝛽 是任意两个向量，则 |(𝛼, 𝛽)| ≤ |𝛼| |𝛽|， (4) 当且仅当 𝛼, 𝛽 线性相关时，等号才成立