山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章_7.9最小多项式

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY *7.9 最小多项式

*7.9 最小多项式

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义如果多项式f(x)使f(A)=0,就称f(x)以A为根， 其中次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的 最小多项式 引理1矩阵A的最小多项式是难一的. 引理2设g(x)是矩阵A的最小多项式，那么f(x)以A为 根的充分必要条件是g(x)整除f(x). ·矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式

最小多项式

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1数量矩阵kE的最小多项式为X一k,特别地， 单位矩阵E的最小多项式为x一1， 零矩阵0的最小多项式为X. ·如果A的最小多项式是1次多项式，那么，A一定是 数量矩阵

数量矩阵

加东翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ?-(）多A柔级大

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1 相似矩阵有相同的最小多项式 ·最小多项式相同的矩阵不一定是相似的

定理1 相似矩阵有相同的最小多项式. • 最小多项式相同的矩阵不一定是相似的

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 创3 设 , 2 A与B的最小多项式都等于(x一1)(x一2)，但是 它们的特征多项式不同，因此A和B不是相似的

例 3 设

山东程子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面的引理， 引理3设A是一个准对角矩阵 4) 并设A1的最小多项式为91(x),A2的最小多项式为92(x), 那么，A的最小多项式为91(x)，92(x)的最小公倍式 [g1(x),92(x)]·

为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面的引理

山求濯工大深 这个结论可以推广到A为若干个矩阵组成的准对角矩阵 的情形.即：如果 /A1 A- A、 A的最小多项式为9(x),i=1,2,.,S,那么，A的最小 多项式为[g1(x),92(x),.,9(x)]

的情形. 即：如果

山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理4k级若尔当块 7 的最小多项式为(x一)

加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 矩阵可对角化的条件 定理2数域P上阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要 条件为A的最小、多项式是P上互素的一次因式的乘积. 推论复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的 最小多项式没有重根

u 矩阵可对角化的条件 最小多项式没有重根