《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 线性方程组 3.10矩阵的秩（二）

高等代数 向量组的秩与极大无关组的求法

高等代数 向量组的秩与极大无关组的求法

n维向量空间pn 推广 P上线性空间V 极大线性无关组 基 秩 维数 向量由极大线性无关 坐标 组线性表示的系数

𝒏维向量空间𝑷 𝒏 极大线性无关组 秩 向量由极大线性无关 组线性表示的系数 推广 𝑷上线性空间𝑽 基 维数 坐标

同构￥ n维V pn x1 向量 坐标X= xn 01,02,.,0s →X1,X2,.,X3 生成子空间V1 的基和维数 极大线性无关组 基01,02，.，0r X1,X2,.,X7 维数r 秩为r

𝒏维𝑽 同构≅ 𝑷 𝒏 向量𝜶 坐标𝑿 = 𝒙𝟏 ⋮ 𝒙𝒏 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔 生成子空间𝑽𝟏 的基和维数 极大线性无关组 𝑿𝟏,𝑿𝟐, ⋯ ,𝑿𝒓 秩为𝒓 基𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒓 维数𝒓 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, ⋯ , 𝑿𝒔

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章线性方程组 一、计算向量组的秩 例1计算向量组C1=(1,2,3),a2=(-1,-2,0),3=(2,4,6), 4=(1,-2,-1)的秩 解 1 2 2 31 1 2 -1 -2 0 - 或者 4 2 4 6 23 - 1 6 1000 -2 -1 400 所以向量组的秩是3

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组 一、计算向量组的秩 例1 计算向量组𝜶𝟏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 ，𝜶𝟐 = −𝟏, −𝟐, 𝟎 ， 𝜶𝟑 = 𝟐,𝟒, 𝟔 ， 𝜶𝟒 = 𝟏, −𝟐, −𝟏 的秩. 解 𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 −𝟐 𝟒 −𝟐 𝟑 𝟎 𝟔 −𝟏 或者 𝟏 𝟐 𝟑 −𝟏 −𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟔 𝟏 −𝟐 −𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 −𝟒 𝟎 𝟎 𝟑 −𝟒 𝟑 𝟎 所以向量组的秩是3

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组 二、极大无关组的计算 定理矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量之间的线性关系

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组 二、极大无关组的计算 定理 矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量之间的线性关系

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章线性方程组 定理 矩阵的初等行（列) 变换不改变列（行）向量之间的线性关系. 例如： 2 3 1 2 3 51 A= 1 0 516 1 0 2 1 → 3 5 1 2 1 2 -1 1 -1 0 1 0 0 01 a2 3 04 B1 B2 B3 β4 Y1 Y2 Y3 Y4 a1-2a2+a3=0 B1-2β2+B3=0 1 2 5 80 3 ≠0 2 a1,a2,Q4线性无关 Y1,Y2,Y4线性无关

՜ ⋯ ՜ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 𝟎 𝟓 𝟑 −𝟐 𝟎 定理 矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量之间的线性关系. 例如: 𝑨 = 𝟏 𝟐 𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟓 𝟏 𝟓 𝟏 𝟔 𝟎 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝟑 𝜶𝟒 𝜶𝟏 − 𝟐𝜶𝟐 + 𝜶𝟑 =0 𝟏 𝟐 𝟓 𝟎 𝟏 𝟑 𝟎 𝟎 −𝟐 ≠ 𝟎 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , 𝜶𝟒线性无关 ՜ 𝟏 𝟐 𝟎 −𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝟏 𝟓 𝟏 𝟏 𝟎 𝜷𝟏 𝜷𝟐 𝜷𝟑 𝜷𝟒 𝜸𝟏 𝜸𝟐 𝜸𝟑 𝜸𝟒 𝜷𝟏 − 𝟐𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 =0 𝜸𝟏 ,𝜸𝟐 , 𝜸𝟒线性无关 向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章线性方程组 1 2 3 51 「1 0 -1 07 1 0 1 0 A- 2 1 2 0 3 5 6 0 0 0 1 -1 0 1 0 0 a1 a2 a3 a4 6182 6364 3=-01+22+— 63=-61+262 a1-2a2+a3=0

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组 A= 𝟏 𝟐 𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟓 𝟏 𝟓 𝟏 𝟔 𝟎 ՜ ⋯ ՜ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝟑 𝜶𝟒 𝜹𝟏 𝜹𝟐 𝜹𝟑 𝜹𝟒 𝜶𝟑 = −𝜶𝟏 + 𝟐𝜶𝟐 𝜹𝟑 = −𝜹𝟏 + 𝟐𝜹𝟐 𝜶𝟏 − 𝟐𝜶𝟐 + 𝜶𝟑 =0

二、极大线性无关组的求法 >极大线性无关组的求解步骤： ·将一个向量组写成列向量，构成一个矩阵； ·对这个矩阵作初等行变换，化到阶梯形矩阵，阶梯性矩阵非零行 的行数就是向量组的秩，而阶梯形矩阵每一行的首非零元所代表 的列就是原向量组的一个极大无关组； ·如果要将其余向量用极大无关组来表示，那么要将矩阵化到行最 简形，行最简形中其余向量的分量就是线性表示的系数

二、极大线性无关组的求法 ➢ 极大线性无关组的求解步骤: • 将一个向量组写成列向量，构成一个矩阵; • 对这个矩阵作初等行变换，化到阶梯形矩阵，阶梯性矩阵非零行 的行数就是向量组的秩，而阶梯形矩阵每一行的首非零元所代表 的列就是原向量组的一个极大无关组; • 如果要将其余向量用极大无关组来表示，那么要将矩阵化到行最 简形，行最简形中其余向量的分量就是线性表示的系数

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组 例2求向量组1=(1,1，-1,0,2)，02=(2,1,2,2，-4)， 3=(0,-1,4,2,-8),C4=(-1,-1,-1,-1,1),05=(1,2,1,1,1) 的秩、一个极大无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示. 解 1 2 0 -1 1 -2 0 0 1 1 -1 -1 2 0 1 1 0 -1 1 2 4 -1 1 0 0 0 1 -3 0 2 2 -1 1 0 0 0 0 0 2 一4 -8 1 1」 0 0 0 0 所以向量组a1,05的秩是3，Q41,02,04是它的一个极大无关组，且 a3=-21+02,5=-a2-304:

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组 例2 求向量组𝜶𝟏 = 𝟏, 𝟏, −𝟏, 𝟎, 𝟐 ，𝜶𝟐 = 𝟐, 𝟏, 𝟐, 𝟐, −𝟒 ， 𝜶𝟑 = 𝟎, −𝟏, 𝟒, 𝟐, −𝟖 ，𝜶𝟒 = −𝟏, −𝟏, −𝟏, −𝟏, 𝟏 ，𝜶𝟓 = 𝟏,𝟐, 𝟏, 𝟏, 𝟏 的秩、一个极大无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示. 解 𝟏 𝟏 －𝟏 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 －𝟒 𝟎 －𝟏 𝟒 𝟐 －𝟖 －𝟏 －𝟏 －𝟏 －𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 －𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 －𝟏 －𝟑 𝟎 𝟎 所以向量组𝜶𝟏,⋯,𝜶𝟓的秩是𝟑，𝜶𝟏,𝜶𝟐,𝜶𝟒是它的一个极大无关组，且 𝜶𝟑＝ －𝟐𝜶𝟏＋𝜶𝟐，𝜶𝟓＝－𝜶𝟐－𝟑𝜶𝟒

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章线性方程组 如果写成行，作行变换，可不可以？ ·行变换会改变行向量间的线性关系。 比如说a1=（1,0,0）,a2=（1,1,0）,a3=(1,1,0) 很显然，心2和3是线性相关的.现在我们写成行，作行变换 1 0 第二行和第三行线性无关

向量组的秩与极大无关组的求法 第三章 线性方程组 如果写成行，作行变换，可不可以？ • 行变换会改变行向量间的线性关系。 比如说 𝜶𝟏 =（1,0,0），𝜶𝟐 =（1,1,0），𝜶𝟑 =（1,1,0） 很显然，𝜶𝟐和𝜶𝟑是线性相关的.现在我们写成行，作行变换 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝒓𝟑−𝒓𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝒓𝟐−𝒓𝟑 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 第二行和第三行线性无关