《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 线性方程组 3.5线性相关性（一）

高等代数 线性相关性

高等代数 线性相关性

(一)线性表示及其与方程组的关系 (二)线性相关与线性无关的定义 (三)线性相关和线性无关的相关结论 (四)极大线性无关组与秩

（一）线性表示及其与方程组的关系 （二）线性相关与线性无关的定义 （三）线性相关和线性无关的相关结论 （四）极大线性无关组与秩

(一)线性表示及其与方程组的关系 一、线性表示的定义 二、线性表示与方程组的关系 三、向量组的等价及性质 四、向量组的等价与方程组同解的关系

（一）线性表示及其与方程组的关系 一、线性表示的定义 二、线性表示与方程组的关系 三、向量组的等价及性质 四、向量组的等价与方程组同解的关系

一、线性表示的定义 第三章线性方程组 三维几何空间中： 若B与a共线，a≠0，则B=k(k是数) 2 Q1 若B与1,2共面，且心1,02不共线，那么 B=k1a1+k22(k1,k2是数)

第三章 线性方程组 三维几何空间中： 若𝜷与𝜶共线，𝜶 ≠ 𝟎， 若𝜷与𝜶𝟏, 𝜶𝟐共面，且𝜶𝟏,𝜶𝟐不共线，那么 𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 (𝒌𝟏,𝒌𝟐是数) 𝜶 𝜷 𝜶𝟏 𝜶𝟐 𝜷 一、线性表示的定义 则𝜷 = 𝒌𝜶 (𝒌是数)

一、线性表示的定义 第三章线性方程组 定义设a1,Q2,.,a,B是一组n维向量，如果存在数域P中的数 k1,k2,.,k使得 B=k1a1+k2a2+.+ks 则称向量β是向量组α1，a2,.,a的线性组合，也称向量β可以由向 量组c1,a2,.,a线性表示 例如41=(2，-1,3,1)，2=(3，-2,5,4)，3=(1,0,1，-2) a3=2a1-02 Q3是1,2的线性组合，或者说a3可以由a1,Q2线性表示

第三章 线性方程组 定义 设𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔 ,𝜷是一组𝒏维向量，如果存在数域P中的数 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒔使得 𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 , 则称向量𝜷是向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔的线性组合，也称向量𝜷可以由向 量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性表示. 例如 𝜶𝟏 = 𝟐, −𝟏, 𝟑, 𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝟑, −𝟐, 𝟓, 𝟒 , 𝜶𝟑 = 𝟏, 𝟎, 𝟏,−𝟐 𝜶𝟑 = 𝟐𝜶𝟏 − 𝜶𝟐 𝜶𝟑是𝜶𝟏, 𝜶𝟐的线性组合，或者说𝜶𝟑可以由𝜶𝟏, 𝜶𝟐线性表示. 一、线性表示的定义

一、线性表示的定义 第三章线性方程组 ·零向量可以由任一向量组线性表示. ·任一n维向量可以由n维单位向量组线性表示. e1=(1,0,.,0),E2=(0,1,.,0),.,en=(0,0,.,1) 称为n维单位向量.对任一n维向量a=(a1,a2,.,an),有 0=a1e1+a2e2+.+anen: ·n维向量组c1v2,.,中每一个向量都可以由这个向量组本身 线性表示 a1=0·01+.1·01+.+0·0s

第三章 线性方程组 • 零向量可以由任一向量组线性表示. • 任一𝒏维向量可以由𝒏维单位向量组线性表示. 𝜺𝟏 = 𝟏, 𝟎, ⋯ , 𝟎 , 𝜺𝟐 = 𝟎, 𝟏, ⋯ , 𝟎 , ⋯ , 𝜺𝒏 = 𝟎, 𝟎, ⋯ , 𝟏 称为𝒏维单位向量. 对任一𝒏维向量𝜶 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 ，有 𝜶 = 𝒂𝟏𝜺𝟏 + 𝒂𝟐𝜺𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝜺𝒏. • 𝒏维向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔中每一个向量都可以由这个向量组本身 线性表示. 𝜶𝒊 = 𝟎 ∙ 𝜶𝟏 + ⋯ 𝟏 ∙ 𝜶𝒊 + ⋯ + 𝟎 ∙ 𝜶𝒔 一、线性表示的定义

一、线性表示的定义 第三章线性方程组 给定一个向量β和一组向量a1,2,.,如何判断β能否由 01,C2,.,线性表示？ 例设a1=(1,2,1),a2=(1,-1,1),03=(1,0,2),B=(3,4,6) B能否由ac1,2,a3线性表示？ 解设B=k141+k2Q2+k3ag,即 (3,4,6)=k1(1,2,1)+k2(1,-1,1)+k3(1,0,2) =(k1+k2+k3,2k1-k2,k1+k2+2k3)

第三章 线性方程组 • 给定一个向量𝜷和一组向量𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ ,𝜶𝒔，如何判断𝜷能否由 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性表示？ 例 设𝜶𝟏 = 𝟏, 𝟐, 𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝟏, −𝟏, 𝟏 , 𝜶𝟑 = 𝟏, 𝟎, 𝟐 , 𝜷 = 𝟑, 𝟒, 𝟔 𝜷能否由𝜶𝟏,𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性表示？ 解 设𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + 𝒌𝟑𝜶𝟑，即 𝟑, 𝟒, 𝟔 = 𝒌𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟏 + 𝒌𝟐 𝟏, −𝟏, 𝟏 + 𝒌𝟑 𝟏,𝟎, 𝟐 = (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑,𝟐𝒌𝟏 − 𝒌𝟐,𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌𝟑) 一、线性表示的定义

一、线性表示的定义 第三章线性方程组 解 设B=k1a1+k2a2+k3a3,即 (3,4,6)=k1(1,2,1)+k2(1,-1,1)+k3(1,0,2) =(k1+k2+k3,2k1-k2,k1+k2+2k3) 对应分量相等，得 k1+k2+k3=3, 2k1-k2=4, k1+k2+2k3=6 解得k1=2,k2=-2,k3=3.所以B可以由a1,2,a3线性表示，即 B=21-2a2+33:

第三章 线性方程组 解 设𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + 𝒌𝟑𝜶𝟑，即 𝟑, 𝟒, 𝟔 = 𝒌𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟏 + 𝒌𝟐 𝟏, −𝟏, 𝟏 + 𝒌𝟑 𝟏,𝟎, 𝟐 = (𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑,𝟐𝒌𝟏 − 𝒌𝟐,𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌𝟑) 对应分量相等，得 ቐ 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 = 𝟑, 𝟐𝒌𝟏 − 𝒌𝟐 = 𝟒, 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌𝟑 = 𝟔 解得𝒌𝟏 = 𝟐, 𝒌𝟐 = −𝟐, 𝒌𝟑 = 𝟑.所以𝜷可以由𝜶𝟏,𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性表示，即 𝜷 = 𝟐𝜶𝟏 − 𝟐𝜶𝟐 + 𝟑𝜶𝟑. 一、线性表示的定义

一、线性表示的定义 二、线性表示与方程组的关系 三、向量组的等价及性质 四、向量组的等价与方程组同解的关系

一、线性表示的定义 二、线性表示与方程组的关系 三、向量组的等价及性质 四、向量组的等价与方程组同解的关系

二、线性表示与方程组的关系 第三章线性方程组 一般地，设 /011 a12 ais Q21 a22 azs 01= ,02= ,.,0s= ,B= an2 ans bn 则B=k1a1+k2a2+.+kss （2)就等价于方程组 a11k1+a12k2 +.aisks=bi, a21k1+a22k2+.+a2sks=b2, (1) anik1+anzk2 +ansks =bn. (2)式称为方程组（1)的向量表达式

第三章 线性方程组 • 一般地，设 𝜶𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔 = 𝒂𝟏𝒔 𝒂𝟐𝒔 ⋮ 𝒂𝒏𝒔 , 𝜷 = 𝒃𝟏 𝒃𝟐 ⋮ 𝒃𝒏 则𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 （2）就等价于方程组 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒔𝒌𝒔 = 𝒃𝟏, 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒔𝒌𝒔 = 𝒃𝟐, ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒔𝒌𝒔 = 𝒃𝒏. 𝟏 （2）式称为方程组（1）的向量表达式. 二、线性表示与方程组的关系