山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章_7.7不变子空间

山东理工大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.7 不变子空间

7.7 不变子空间

山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义1 设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 子空间.如果W中的向量在凡下的像仍在W中，即对于 W中任一向量，有Aξ∈W,则称W是A的不变子空间， 简称A-子空间. 例1整个空间V和零子空问{0}，对于每个线性变换凡 来说都是A子空问. 例2凡的值域与核都是凡-子空间

子空间

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3 任何一个子空间都是数乘变换的不子空间 例4 若线性变换凡与B是可交换的，则B的核与值域 都是凡-子空问. f(A)与A可交换，所以f(几)的值域与核都是A-子空问. 例5设V中向量1,02，.，Qs都是V的线性变换A的特征向量， 那么，L(Q1,2,.,Qxs)是A-子空间. 特别地，V也是凡-子空间

例3 任何一个子空间都是数乘变换的不子空间

山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ·特征向量与一维不变子空间的关 W是一维A子空间台W=L(飞)，是A的一个特征向量， ·W=L(c1,2,.,as)是A-子空间台A1,A2,.,Aas∈W ·凡-子空间的和与交还是凡-子空间

• 特征向量与一维不变子空间的关系

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ◆凡在不变子空间上引起的变换 设凡是线性空间V的线性变换，W是A的不变子空间. 由于W中向量在凡下的像仍在W中，这就使得有可能不必 在整个空间V中来考虑凡，而只在不变子空间W中考虑几， 即把A看成是W的一个线性变换，称为A在不变子空间W 上引起的变换.为了区别起见，用符号凡W来表示；

上引起的变换

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY B→0 丽8→0 ∀60 (AW)5 若n庄W,则(A|W)n没有意义 例如 AA-1(0)=0 A|V=K（由数决定的数乘变换)

ᵰ :ᵰ⟶ᵰ ᵰ|ᵰ :ᵰ⟶ᵰ 例如 ∀ᵰ↦ᵰ = ᵰ

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY U不变子空间与矩阵化简之间的关系 定理11)设A是n维线性空问V的线性变换，W是V的 A-子空间.在W中取一组基E1,E2,.,Ek,并且把它扩充 成V的一组基 E1,e2,.,ek,ek+1,.,en (1) 那么，凡在这组基下的矩阵就具有下列形状

u 不变子空间与矩阵化简之间的关系 成 V 的一组基

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY C11 alk 1,k+1 01m aki akk Ak,k+1 akn A1 0 0 ak+1,k+1 ak+1,n (2) 0 0 An,k+1 ann 并且左上角的k级矩阵A1就是A|W在W的基E1,2,.,Ek 下的矩阵.反之，如果凡在基(1)下的矩阵是(2)，那么 日.旺口 W=L(e1,.,k)是A-子空间

下的矩阵. ᵰ1, ⋯ ᵰ,ᵰ∈ ᵰ

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2)设V可以分解成两个凡·子空间的直和： G口口2 那么，选取W1的一组基E1,e2.,em和W2的一组基Em+1,.,en, 基胜一油V欢缽虚来s趺合 e1,e2,em,em+1,.,en (3) 测凡在这组基下的矩阵具有准对角形状

ᵰ= ᵰ1 ᵰ ᵰ2

G 山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (4) 其中A1是m阶方阵，它是几W在基e1,e2.,Em下的矩阵， A2是n阶方阵，它是A|W2在基em+1,.,en下的矩阵. 反之，如果A在基(3)下的矩阵是(4)，则几1，.，几emEW1 AEm+1,.,Aen∈W2,因此W1=L(e1,e2.,Em), W2=L(em+1,.,En)都是A子空间，且V=W1田W2