《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 线性方程组 3.4n维向量

高等代数 n维向量

高等代数 𝑛维向量

n维向量 第三章线性方程组 几何：二维向量(x,y),三维向量(x,y,z) 方程组的解(k1,k2,.,kn) 方程a1x1+a2x2+.+anxn=b (a1,a2.,aub) 生活中：6位同学的年龄 (18,19,19,20,19,18)

𝒏维向量 第三章 线性方程组 几何：二维向量(𝒙,𝒚)，三维向量(𝒙,𝒚, 𝒛) 方程组的解 (𝒌𝟏,𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒏) 方程 𝒂𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒙𝒏 = 𝒃 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏,𝒃 生活中：6位同学的年龄 (𝟏𝟖, 𝟏𝟗, 𝟏𝟗,𝟐𝟎, 𝟏𝟗, 𝟏𝟖)

n维向量 第三章线性方程组 一、n维向量的定义 二、n维向量的运算 三、向量空间

𝒏维向量 第三章 线性方程组 一、𝒏维向量的定义 二、𝒏维向量的运算 三、向量空间

一、n维向量的定义 第三章线性方程组 定义由数域P中n个数组成的有序数组 (a1,a2,.,an) 称为数域P上的一个n维向量.a;称为它的第i个分量. ·通常用小写的希腊字母，B,Y.来表示向量 定义如果n维向量 a=(a1,a2,.,an),β=(b1,b2,.,bn) 的对应分量都相等，即 a1=bi(i=1,2,.,n) 则称这两个向量相等，记作@=B

一、𝒏维向量的定义 第三章 线性方程组 定义 由数域P中𝒏个数组成的有序数组 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 称为数域P上的一个𝒏维向量.𝒂𝒊称为它的第𝒊个分量. • 通常用小写的希腊字母𝜶, 𝜷, 𝜸 ⋯来表示向量 定义 如果𝒏维向量 𝜶 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 ，𝜷 = (𝒃𝟏, 𝒃𝟐, ⋯ , 𝒃𝒏) 的对应分量都相等，即 𝒂𝒊 = 𝒃𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏 则称这两个向量相等，记作𝜶 = 𝜷

n维向量 第三章线性方程组 一、n维向量的定义 二、n维向量的运算 三、向量空间

𝒏维向量 第三章 线性方程组 一、𝒏维向量的定义 二、𝒏维向量的运算 三、向量空间

二、n维向量的运算 第三章线性方程组 1.向量的加法 定义设n维向量 a=(a1a2,.,an),阝=(b1,b2,.,bn) 则向量 Y=(a1+b1,a2+b2,.,an+bn) 称为向量a与B的和，记为y=a+B

二、𝒏维向量的运算 第三章 线性方程组 1. 向量的加法 定义 设𝒏维向量 𝜶 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 ，𝜷 = (𝒃𝟏, 𝒃𝟐, ⋯ , 𝒃𝒏) 则向量 𝜸 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 + 𝒃𝒏) 称为向量𝜶与𝜷的和，记为𝛄 = 𝜶 + 𝜷

二、n维向量的运算 第三章线性方程组 >向量加法的运算规律 (1)交换律：+B=B+a (2)结合律：a+(B+Y)=(a+)+y a+B+y=a+(B+Y)=(a+)+y (3)零向量0=(0,0，.，0)满足，对所有的向量a都有 a+0=

二、𝒏维向量的运算 第三章 线性方程组 ➢ 向量加法的运算规律 （1） 交换律：𝜶 + 𝜷 = 𝜷 + 𝜶 （2） 结合律：𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 （3） 零向量𝟎 = (𝟎,𝟎, ⋯ , 𝟎)满足，对所有的向量𝜶都有 𝜶 + 𝟎 = 𝜶

二、n维向量的运算 第三章线性方程组 >向量加法的运算规律 (4)若向量a=(a1,a2,.,an),则(-a1,-a2,.,-an)称为a的负 向量，记为-a心.的负向量-a满足 +(-=0 ·定义向量a和B的减法： a-B=a+(-β)

二、𝒏维向量的运算 第三章 线性方程组 ➢ 向量加法的运算规律 （4）若向量𝜶 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 ，则(−𝒂𝟏, −𝒂𝟐, ⋯ , −𝒂𝒏)称为𝜶的负 向量，记为−𝜶. 𝜶的负向量−𝜶满足 𝜶 + −𝜶 = 𝟎 • 定义向量𝜶和𝜷的减法： 𝜶 − 𝜷 = 𝜶 + (−𝜷)

二、n维向量的运算 第三章线性方程组 2.数与向量的乘法 定义设k是数域P中的数，向量 =(a1,a2,.,an), 则向量 (ka1,ka2,.,kan) 称为向量a与数k的数量乘积，记为k

二、𝒏维向量的运算 第三章 线性方程组 2. 数与向量的乘法 定义 设𝒌是数域P中的数，向量 𝜶 = 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, ⋯ , 𝒂𝒏 ， 则向量 (𝒌𝒂𝟏,𝒌𝒂𝟐 , ⋯ ,𝒌𝒂𝒏) 称为向量𝜶与数𝒌的数量乘积，记为𝒌𝜶

二、n维向量的运算 第三章线性方程组 >数量乘积的运算规律 (5)分配律：k(a+B)=ka+kβ (6)分配律：(k+I)a=ka+la (7)k(la)=(kl)a (8)1a= a+a+.+a=1a+.+1a=(1+.+1)a=n0 n个 。 如果ka=B,且k≠0，则呢(ka)=B,从而=B

二、𝒏维向量的运算 第三章 线性方程组 ➢ 数量乘积的运算规律 （5） 分配律：𝒌(𝜶 + 𝜷) = 𝒌𝜶 + 𝒌𝜷 （6） 分配律：(𝒌 + 𝒍)𝜶 = 𝒌𝜶 + 𝒍𝜶 （7） 𝒌 𝒍𝜶 = (𝒌𝒍)𝜶 （8） 𝟏𝜶 = 𝜶 • 𝜶 + 𝜶 + ⋯ + 𝜶 𝒏个 = 𝟏𝜶 + ⋯ + 𝟏𝜶 = 𝟏 + ⋯ + 𝟏 𝜶 = 𝒏𝜶 • 如果𝒌𝜶 = 𝜷，且𝒌 ≠ 𝟎，则𝟏 𝒌 (𝒌𝜶) = 𝟏 𝒌 𝜷，从而𝜶 = 𝟏 𝒌 𝜷