山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 二次型 5.2标准形

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5.2 标准形

加东翟2大 本节主要介绍化二次型为标准形的两种方法： 配方法 合同变换法

本节主要介绍化二次型为标准形的两种方法： 配方法 合同变换法

山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理数域P上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 矩阵语言的叙述： 定理数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵

定理 数域𝑃上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 矩阵语言的叙述： 定理 数域𝑃上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵

山东濯工大深 倒1化二次型f(x1,x2,x3)=x子-4x1x2+2x1x3+4x经+2x3 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解f(x1,x2,x3)=x子+(-4x2+2x3)x1+4x2+2x3 =(x1-2x2+x3)2-(-4x2+2x3)2+4x2+2x3 =(x1-2x2+x3)2+4x2x3+x3 不含x1 对这一部分继续配方 =(x1-2x2+x3)2+(x3+2x2)2-4x3

例1 化二次型𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 2 − 4𝑥1𝑥2 + 2𝑥1𝑥3 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 − −4𝑥2 + 2𝑥3 2 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = 𝑥1 2 + (−4𝑥2 + 2𝑥3 )𝑥1 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 不含𝑥1 2 + 4𝑥2𝑥3 + 𝑥3 2 对这一部分继续配方 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 + 𝑥3 + 2𝑥2 2 − 4𝑥2 2

G》 山东程子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY f(x1,X2,x3)=(x1-2x2+x3)2+(x3+2x2)2-4x2 令 即 x1-2x2+x3=y1, x1=y1-y2+4y3, X3+2x2=y2, X2=y3, x2=y3: x3=y2-2y3 得 f(x1,x2,x3)=y+y3-4y3 一一 配方法

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 + 𝑥3 + 2𝑥2 2 − 4𝑥2 2 令 ቐ 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 , 𝑥3+2𝑥2 = 𝑦2 , 𝑥2 = 𝑦3 . 即 ቐ 𝑥1 = 𝑦1 − 𝑦2 + 4𝑦3 , 𝑥2 = 𝑦3 , 𝑥3 = 𝑦2 − 2𝑦3 . 得 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 2 + 𝑦2 2 − 4𝑦3 2 ——配方法

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2 化二次型f(x1,x2,x3)=x1X2+x2x3+X3x1为标准形， 并求所作的非退化线性替换。 解令 x1=y1+y2, x2=y1-y2, x3=y3 f(x1,x2,x3)=(y1+y2)0y1-y2)+(y1-y2)y3+y30y1+y2) =y-y2+2y1y3

例2 化二次型𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1为标准形， 并求所作的非退化线性替换。 解 令 ቐ 𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2 , 𝑥3 = 𝑦3 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦1 − 𝑦2 𝑦3 + 𝑦3 (𝑦1 + 𝑦2 ) = 𝑦1 2 − 𝑦2 2 + 2𝑦1𝑦3

山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY f(x1,x2,x3)=y1-y吃+2y1y3 =(y1+y3)2-y3-y 令 即 y1+y3=Z1 y1=Z1-y3, y2=Z2, y2=Z2, y3=Z3 y3=z3 得 f(x1,x2,x3)=z子-z3-z3

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 2 − 𝑦2 2 + 2𝑦1𝑦3 = 𝑦1 + 𝑦3 2 − 𝑦3 2 − 𝑦2 2 令 ቐ 𝑦1 + 𝑦3 = 𝑧1 , 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑦3 = 𝑧3 即 ቐ 𝑦1 = 𝑧1 − 𝑦3 , 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑦3 = 𝑧3 得 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑧1 2 − 𝑧2 2 − 𝑧3 2

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 所作非退化线性替换为 X1=y1+y2, X2 =y1-y2, X1=Z1+22-Z3, x3=y3 X2=Z1-Z2-Z3, X3=Z3: y1=Z1-y3, y2=22 y3=Z3

ቐ 𝑥 1 = 𝑦 1 + 𝑦 2 , 𝑥 2 = 𝑦 1 − 𝑦 2 , 𝑥 3 = 𝑦 3 ቐ 𝑦 1 = 𝑧 1 − 𝑦 3 , 𝑦 2 = 𝑧 2 , 𝑦 3 = 𝑧 3 ቐ 𝑥 1 = 𝑧 1 + 𝑧 2 − 𝑧 3 , 𝑥 2 = 𝑧 1 − 𝑧 2 − 𝑧 3 , 𝑥 3 = 𝑧 3. 所作非退化线性替换为

山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理 数域P上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 证明 对变量的个数作数学归纳法 当n=1时，f(x1)=a11x好，己经是标准形了。 假设结论对n一1元二次型成立，现在看n元二次型 nn fx1,x2,.,xn)=∑c ijXiXj (aij aji) =1=1

证明 对变量的个数𝑛作数学归纳法 当𝑛 = 1时，𝑓 𝑥1 = 𝑎11𝑥1 2，已经是标准形了。 假设结论对𝑛 − 1元二次型成立，现在看𝑛元二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 =෍ 𝑖=1 𝑛 ෍ 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 (𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖) 定理 数域𝑃上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式

加求翟王大 分三种情形讨论： 1)f(x1,x2,.,xn)中含有平方项，即ai(i=1,2,.,n)中至少有 一个不为0，不妨设a11≠0.将含有x1的项集中在一起配方 n fxx2,x7)=a1x好+2a12x1x2+.+2a1mx1xn+∑∑。 ijxix =2j=2 =a:(好+2aia42++2 aiiainXixn)+∑∑0 Xi为 2=2

分三种情形讨论： 1) 𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 中含有平方项，即𝑎𝑖𝑖(𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛)中至少有 一个不为0，不妨设𝑎11 ≠ 0.将含有𝑥1的项集中在一起配方 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑎11𝑥1 2 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 + ෍ 𝑖=2 𝑛 ෍ 𝑗=2 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑎11(𝑥1 2 + 2𝑎11 −1𝑎12𝑥1𝑥2 + ⋯ + 2𝑎11 −1𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛) + ෍ 𝑖=2 𝑛 ෍ 𝑗=2 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗