《高等数学》课程教学资源（自学导学单）11.5 导学单

教学基 本 指 标 教学课题 第十一章第五节 课的类型 新授课 对面积的曲面积分 教学重点 对坐标的曲面积分的计算 教学难点 对坐标的曲面积分的计算 教学要求 1.理解对坐标的曲面积分的概念： 2. 掌握对坐标的曲面积分的计算。 教 学 基 本 内 容 1.对坐标的曲面积分的概念 定义设Σ为光滑的有向曲面，函数R(x,y,:)在Σ上有界.把三任意分成 n块小曲面△S,(△S,同时又表示第i块小曲面的面积)，△S,在xOy面上的投影 为（△S)m,(6,n,)是△5上任意取定的一点，作乘积R(5,6,)(△S,) (=1,2,),并作和∑(5，n,)(△S,)n,如果当各小块曲面的直径的最 大值A0时，这和的极限总存在，且与曲面工的分法及点(E,n,)的取法无 关，那么称此极限为函数R(x,y,2)在有向曲面Σ上对坐标x义的曲面积分，记 作R(x,)dxdy,即 R(x.y,)dxdy-m(A5) 其中R(x,3,z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面. 类似地可以定义函数P(x,),)在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分 P(,火.)d及面数Q(,)在有向曲面上对坐标的曲面积分 p(a)dkd分别为 P=2 w)(5). 0=2055as》. 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分 2.对坐标的曲面积分的计算 设积分曲面Σ是由方程：=z(x,y)所给出的曲面上侧，Σ在xOy面上的投影 区域为D,函数：=z(x,y)在D,上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,y,z)在 Σ上连续 R(x.y.z)dxdy=R[x,y,:(x,y)]dxdy (5-3)

1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第十一章 第五节 对面积的曲面积分 课的类型 新授课 教学重点 对坐标的曲面积分的计算 教学难点 对坐标的曲面积分的计算 教学要求 1. 理解对坐标的曲面积分的概念； 2. 掌握对坐标的曲面积分的计算。 教 学 基 本 内 容 1. 对坐标的曲面积分的概念 2. 对坐标的曲面积分的计算

R(x.y)drdy=-R[x.y.(y)]dxdy (5-3) 类似地，如果Σ由x=x(y,)给出，那么有 P(x.y.)dyd:==P[x(y.:).y.:]dydz. (5-4) 等式右端的符号这样决定：积分曲面Σ是由方程x=x(,:)所给出的曲面前测 即c0sa>0,应取正号：反之，三取后侧，即cosa0,应取正号：反之，Σ取左侧，即cosB<0,应取负号

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