《高等数学》课程教学资源（作业习题）D11 曲线积分与曲面积分

第十一章曲钱积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 11-1对孤长的曲线积分 一、填空题： 1.设L是从点(，0)到点(0,1)的直线段，则∫(x+y)ds= 2.设L是从点(1,0)到点(-1,2)的直线段，则∫(2x-y)ds= 3.设L为曲线y=lnx上介于x=2,x=3的一段弧，则xds= 4.设L为右半圆周x2+y2=a2,x≥0，则xds= 二、计算下列对弧长的曲线积分： 1d,其中L为摆线的一拱：=01-50)，(0≤1≤2】 y=a(1-cos） 2.(2x+3y+4)d,其中L为圆周x2+y2=1在第一象限的部分

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 1 11-1 对弧长的曲线积分 一、填空题： 1. 设 L 是从点(1,0) 到点(0,1)的直线段，则    x y s L ( )d . 2. 设 L 是从点(1,0) 到点(1,2) 的直线段，则    x y s L (2 )d . 3. 设 L 为曲线 y  ln x 上介于 x  2, x  3 的一段弧，则   x s L d 2 . 4. 设 L 为右半圆周 , 0 2 2 2 x  y  a x  ，则   x s L d . 二、计算下列对弧长的曲线积分： 1. y s L d  ，其中 L 为摆线的一拱        (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t ，（0  t  2 ) 2.    L (2x 3y 4)ds ,其中 L 为圆周 1 2 2 x  y  在第一象限的部分

3.fP可dr,其中L为圆周x+y=a'、直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个 边界 1 4+了+：d,英中r为线x=dcos1,=心m:心上相应于1从0到2的这段班 三、设曲线形构件位于抛物线y=x2的一段弧上(1≤x≤2)，它的线密度为4(x,y)=2x,求该 构件的质量。（选作）

2 3.   L x y e ds 2 2 ，其中 L 为圆周 2 2 2 x  y  a 、直线 y  x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个 边界. 4. s x y z d 1  2 2 2    ，其中 为曲线 t t t x  e cos t, y  e sin t, z  e 上相应于t 从 0 到 2 的这段弧. 三、设曲线形构件位于抛物线 2 y  x 的一段弧上（1  x  2 ），它的线密度为 (x, y)  2x ，求该 构件的质量.（选作）

第十一章曲线积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 11-2对坐标的曲线积分 一、填空题： 1.设L是圆x2+y2=1上从点1,0)到点(-1,0)的半圆弧，则dy= 2.设「是曲线x=1,y=cos1,z=sin1上对应1从0到π的一段弧，则xdr+d少y-d= 3.设L为抛物线y=x2上从点(0,0)到点(L,)的一段弧，则对坐标的曲线积分 ,P(x,y)dr+Q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分为 二、计算下列对坐标的曲线积分： 1.∫(x2-y2x,其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧。 2.∫(2a-y)dr+x,其中L为摆线x=a1-sin),y=a1-cos)上对应1从0到2π的一段弧

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 3 11-2 对坐标的曲线积分 一、填空题： 1.设 L 是圆 1 2 2 x  y  上从点(1,0) 到点(1,0)的半圆弧，则  L xydy . 2. 设 是曲线 x  t, y  cost,z  sin t 上对应t 从 0 到 的一段弧，则     x dx zdy ydz 2 . 3. 设 L 为抛物线 2 y  x 上从点(0,0) 到点(1,1)的一段弧，则对坐标的曲线积分   L P(x, y)dx Q(x, y)dy 化成对弧长的曲线积分为 . 二、计算下列对坐标的曲线积分： 1. x y x L ( )d 2 2   ，其中 L 是抛物线 2 y  x 上从点(0,0) 到点(2,4) 的一段弧. 2.    L (2a y)dx xdy ,其中 L 为摆线 x  a(t  sin t), y  a(1 cost) 上对应t 从 0 到2 的一段弧

3.∫xdr+dy+(x+y-1)d,其中Γ是从点(，1)到点(2,3,4)的一段直线. 三、计算∫(x+y)dr+(y-x)dy,其中L是： 1.从点(1,1)到点(4,2)的直线段 2.先沿直线从点(，)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线 四、重d-xdy,其中L为圆周x2+y2=a2(沿逆时针方向绕行)

4 3.  xdx  ydy  (x  y 1)dz ，其中 是从点(1,1,1) 到点(2,3,4) 的一段直线. 三、计算     L (x y)dx ( y x)dy ，其中 L 是： 1.从点(1,1) 到点(4,2) 的直线段. 2.先沿直线从点(1,1) 到点(1,2) ，然后再沿直线到点(4,2) 的折线. 四、   L ydx xdy ,其中 L 为圆周 2 2 2 x  y  a （沿逆时针方向绕行）

第十一章曲线权分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 11-3格林公式及其应用 一、填空题： 1.设L为圆周x2+y2=9(逆时针方向)，则(x-3y+y2)dx+2dy= 2设L为情子+号=1（逆时件方向），则f0d+)- 3.己知区+d+心为某二元函数的全微分，则常数a= (x+y)2 二、计算曲线积分f(2xy-x)d+(x+y)y,其中L是由抛物线y=x2和y2=x所围成区域的正 向边界曲线，并验证格林公式的正确性。 三、证明曲线积分(6y2-yx+(6xy-3对y心在整个x0y面内与路径无关，并计算积分值

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 5 11-3 格林公式及其应用 一、填空题： 1.设 L 为圆周 9 2 2 x  y  （逆时针方向），则      x y y x xy y L ( 3 )d 2 d 2 . 2.设 L 为椭圆 1 2 5 2 2   x y （逆时针方向），则    e ( ydx xdy) L xy . 3.已知 2 ( ) ( )d d x y x ay x y y    为某二元函数的全微分，则常数a  . 二、计算曲线积分     L (2xy x )dx (x y )dy 2 2 ，其中 L 是由抛物线 2 y  x 和 y  x 2 所围成区域的正 向边界曲线,并验证格林公式的正确性. 三、证明曲线积分 (6xy y )dx (6x y 3xy )dy 3 2 2 3 4 1 2 2    （ ，） （ ，） 在整个 xoy 面内与路径无关，并计算积分值

四、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.(2x-y+4)dr+(5y+3x-6)y,其中L是以(0,0)，(3,0)和(3,2)为顶点的三角形正向边界 2.(x2-yr-(x+sin2,其中L是在圆周y=V2x-x上由点(0,0)到点1，D的一段弧 五、验证(x+2y)dr+(2x+3y)dy在整个xoy面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求出这样的一个 (x,y) 六、验证(ysinx+2)dr+(y2-cosx)dy=0是全微分方程，并求其通解

6 四、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.       L (2x y 4)dx (5y 3x 6)dy ，其中 L 是以(0,0),(3,0) 和（3，2）为顶点的三角形正向边界. 2. x y x x y y L ( )d ( sin )d 2 2     ,其中 L 是在圆周 2 y  2x  x 上由点（0，0）到点（1，1）的一段弧. 五、验证(x  2y)dx  (2x  3y)dy 在整个 xoy 面内是某一函数u(x, y) 的全微分，并求出这样的一个 u(x, y) . 六、验证( sin 2)d ( cos )d 0 2 y x  x  y  x y  是全微分方程，并求其通解

第十一章曲线积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 11-4对面积的曲面积分 一、填空题： 1.设2是上半椭球面号+二+=1：≥0，已知Σ面积为4，则∬4+9yr2+36:5=一 94 2.设Σ是抛物面：=2-(x2+y2)在xoy面上方的部分，则[S= 3.设Σ是上半球面z=√a2-x2-y,则「V2-x2-y2d5= 二、计算小x2+y2)S,其中工是锥面：=F+少及平面：=1所围成的区域的整个边界曲面

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 7 11-4 对面积的曲面积分 一、填空题： 1.设 是上半椭球面 1 9 4 2 2 2   z  x y （z  0），已知 面积为 A ,则      (4x 9y 36z )dS 2 2 2 . 2.设 是抛物面 2 ( ) 2 2 z   x  y 在 xoy 面上方的部分，则    dS . 3.设 是上半球面 2 2 2 z  a  x  y ，则      a x y dS 2 2 2 . 二、计算   (x  y )dS 2 2 ，其中 是锥面 2 2 z  x  y 及平面 z 1所围成的区域的整个边界曲面

三、计算∬(x+y+dS,其中Σ是球面x2+y2+:2=a2上：之h(0<h<a)的部分. 四、已知曲面壳：=3-(x2+y)面密度为μ=x2+y2+:,求此曲面壳在平面：=1以上部分的质量

8 三、计算   (x  y  z)dS ，其中 是球面 2 2 2 2 x  y  z  a 上 z  h (0  h  a)的部分. 四、已知曲面壳 3 ( ) 2 2 z   x  y 面密度为  x  y  z 2 2  ，求此曲面壳在平面 z 1以上部分的质量

第十一章曲线权分与曲面权分班级： 姓名： 序号： 11-5对坐标的曲面积分 一、填空题： 1.设Σ是平面3x+2y+25z=6在第一卦限内的部分的上侧，把对坐标的曲面积分 川P(xy:过t+Q(xy,:止d+x,id化成对面积的曲面积分 2.设2={x,y:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤：≤1，Σ是长方体2的整个表面的外侧，则曲面积分 ff*'dyd=+yd=dx+dxdy= 二、计算形dxdy,其中Σ是平面x=0,y=0,:=0,x+y+:=1所围成的空间区域的整个边界曲面的 外侧

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 9 11-5 对坐标的曲面积分 一、填空题： 1.设 是平面3x  2y  2 3z  6在第一卦限内的部分的上侧，把对坐标的曲面积分 P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy     化成对面积的曲面积分 . 2.设  {(x, y,z) 0  x 1,0  y 1,0  z 1}, 是长方体 的整个表面的外侧，则曲面积分      x dydz y dzdx z dxdy 3 3 3 . 二、计算   xzdxdy ，其中 是平面 x  0, y  0,z  0, x  y  z 1所围成的空间区域的整个边界曲面的 外侧

三、计算川x2y2 zdxdy,其中是球面x2+y2+z2=a2的下半部分的下侧. 四、计算川xdd+)ddr+ddy,其中Σ是柱面x2+y2-1被平面z=0及：=3所截得的在第一卦限 内的部分的前侧

10 三、计算 x y zdxdy 2 2   ，其中 是球面 2 2 2 2 x  y  z  a 的下半部分的下侧. 四、计算   xdydz  ydzdx  zdxdy ，其中 是柱面 1 2 2 x  y  被平面 z  0及 z  3所截得的在第一卦限 内的部分的前侧