《高等数学》课程教学资源（练习题）第十二章练习题

第十二章无穷级数 (练习一) (常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法) 一、填空题 1、若∑4，收敛，则1im(u。+3)= 2、若立4，的和为2，且，=4+山++4，则∑4，的和为 3 空么客行锁 程= 4+月+（宁+学++（分+宁+.的和是 5、级数∑nsin上的收敛性是： 二、选择题 1、m4,=0是级数∑4，收敛的() A充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 2、若级数∑山，收敛，且5n=山，+山2+.+山n,下列叙述不正确的是( = A.lim4,=0B.lims=0C.lims存在D.limn存在 3、设级数”，收敛。则下列级数（ )一定收敛。 2GB2lc2u+)n2u+日 4、都分和数列5}有界是正项级数，收敛的（ ) A充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 1

1 第十二章 无穷级数 （练习一） (常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法) 一、填空题 1、若 1 n n u  =  收敛，则 lim( 3) n n u → + = 。 2、若 1 n n u  =  的和为 2，且 n n 1 2 s u u u = + + + ，则 2 n n u  =  的和为 ， lim n n s → = 。 3、设 1 n n t  =  的和为 2，则 1 3 n n t  =  的为 。 4、 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 n n + + + + + + + 的和是 。 5、级数 1 1 sin n n n  =  的收敛性是： 。 二、选择题 1、 lim 0 n n u → = 是级数 1 n n u  =  收敛的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2、若级数 1 n n u  =  收敛，且 n n 1 2 s u u u = + + + ，下列叙述不正确的是（ ） A. lim 0 n n u → = B. lim 0 n n s → = C. lim n n s → 存在 D. lim n n u → 存在 3、设级数 1 n n u  =  收敛，则下列级数（ ）一定收敛。 A. 2 1 n n u  =  B. 1 n n u  =  C. 1 1 ( ) n n n u u  + =  + D. 1 1 ( ) n n u n  =  + 4、部分和数列 sn 有界是正项级数 1 n n u  =  收敛的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

三、根据级数收敛与发散的定义或性质判定下列级数的收敛性： 1、 1,1,1 台(2n-10(2n+) 2 4、-学 四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性 2.sin

2 三、根据级数收敛与发散的定义或性质判定下列级数的收敛性： 1、 1 1 n (2 1)(2 1) n n  = − +  2、 3 1 1 1 1 3 3 3 3n + + + + + 3、 1 3 2 5 n n n n  = +  4、 1 1 4 ( 1) ( ) 3 n n n  − =  − 四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性 1、   =1 2 −1 1 n n 2、 1 sin 3 n n   =  3、 1 1 ( 0) 1 n n a a  =  + 

五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性 1、3” 台n-2” 六、判定下列级数的收敛性 小2”sm a2) ,其中an→a(n→∞)，an,a,b均为正数

3 五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性 1、 1 3 2 n n n n  =   2、 1 2 ! n n n n n  =   六、判定下列级数的收敛性 1、 1 2 sin 3 n n n   =  2、 1 3 2 n n n n  =       +  3、 1 n n n b a  =        ，其中 ( ), , , n n a a n a a b → →  均为正数

七、判定下列级数是否收敛？如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？ 小2- 2-旷品 八、解答下列各题 小、讨论级数2(-r的收敛恤 2、证明：若正项级数∑山.收敛，则级数∑42也收敛

4 七、判定下列级数是否收敛?如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？ 1、   = − − − 1 1 1 3 ( 1) n n n n 2、 2 1 ( 1) ln n n n  =  − 八、解答下列各题 1、讨论级数 1 1 ( 1)n p n n  =  − 的收敛性； 2、证明：若正项级数 1 n n u  =  收敛,则级数 2 1 n n u  =  也收敛

第十二章无穷级数 (练习二) (幂级数及函数的幂级数展开式) 一、填空题 1、若幂级数∑a,x在x=3处收敛，则它在x=-1处 (收敛、发散)。 2、若1im=2,则2a,x2的收敛半径是 n→an 3、帮级数∑二的收敛域是 ,在其收敛域内的和函数是 台n 数项级数乃1的和是 台2"n 4、若幂级数∑a,在点x=-2处条件收敛，则该级数的收敛半径为 二、求下列幂级数的收敛域 、月2” 2-

5 第十二章 无穷级数 （练习二） (幂级数及函数的幂级数展开式) 一、填空题 1、若幂级数 0 n n n a x  =  在 x = 3 处收敛，则它在 x =−1 处 （收敛、发散）。 2、若 1 lim 2 n n n a a + → = ，则 2 0 n n n a x  =  的收敛半径是 。 3、幂级数 1 n n x n  =  的收敛域是 ，在其收敛域内的和函数是 ， 数项级数 1 1 2 n n n  =   的和是 。 4、若幂级数 0 n n n a x  =  在点 x = −2 处条件收敛，则该级数的收敛半径为 。 二、求下列幂级数的收敛域 1、 n n n x  =1 3 2、 2 1 2 1 n n n x n  = +  3、   = − 1 ( 2) 1 n n x n

三、利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数 1小2m-1<x 2r2 22n-1<x<0 四、将下列函数展开成x的幂级数 l、xe: 1 20-x 6

6 三、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数在收敛区间内的和函数 1、 1 1 ,( 1 1) n n nx x  − =  −   2、 2 1 1 ,( 1 1) 2 1 n n x x n  − = −   −  四、将下列函数展开成 x 的幂级数 1、 x xe − ； 2、 2 1 (1 ) − x

五、解答下列各题 1、将函数cosx展开成x+了的幂级数 2、将函数二展开成(x-2)的幂级数 3、将函数？+3x十2展开皮x+3)的幂级数。 7

7 五、解答下列各题 1、将函数 cos x 展开成 ( ) 3 x  + 的幂级数； 2、将函数 1 x 展开成 ( 2) x − 的幂级数； 3、将函数 2 1 x x + + 3 2 展开成 ( 3) x + 的幂级数

八、求幂级数∑x2的和函数，并求级数∑2”+1的和。 后nl 九、求级的收线和

8 八、求幂级数 2 1 1 1 ! n n x n  + =  的和函数，并求级数 1 2 1 n ! n n  = +  的和。 九、求幂级数 1 1 3 n n n x n  − =   的收敛域与和函数

第十二章无穷级数 (练习三) (傅里叶级数) 一、填空题 1、设fx)是周期为2元的周期函数，并且f)=受+∑(a,c0sx+6,sinm), 则a= ’an= b= ,(n=1,2,.); 2、设树是以2x为周期的周開函数、在-，网上有6闭=+x0≤x≤： 1-x-π≤xb>0),将f(x)展开为傅里叶级数。 9

9 第十二章 无穷级数 （练习三） (傅里叶级数) 一、填空题 1、设 f x( ) 是周期为 2 的周期函数，并且 f x( ) = 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx  = + +  ， 则 0 a = ， n a = ， n b = ，（ n =1, 2, ）； 2、设 f x( ) 是以 2 为周期的周期函数，在 [− , ] 上有 1 , 0 ( ) 1 , 0 x x f x x x    − −   =   +   则 f x( ) 的傅里叶级数在 x =  处收敛于_ _。 3、设 f x( ) 是周期为 2 的周期函数，它在区间 ( 1,1] − 的定义为 2 2, 1 0 ( ) ,0 1 x f x x x  −   =     ， 则 f x( ) 的傅里叶级数在 x = 0 收敛于 。 4、 f x e x x ( ) = cos 在 [− , ] 上的傅里叶系数 0 a =_， 1 b =_ 二、设 f x( ) 是以 2 为周期的周期函数，在 [ , ] −  上的表达式为 , 0 ( ) , 0 bx x f x ax x    −   =     （ a b, 为常数且 a b   0 ），将 f x( ) 展开为傅里叶级数

三、将函数fx)=os(-π≤x≤)展成傅里叶级数

10 三、将函数 ( ) cos ( ) 2 x f x x = −     展成傅里叶级数