《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 无穷级数_第四节 幂级数_幂级数

第四讲 幂级数

第四讲 幂级数

幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

幂级数 函数须级数的概念 幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

>函数项级数的概念 对于定义在区间1上的函数列4(x),4(x),4(x),“,4(x), 由这函数列构成的表达式 4(x)+42(x)+4(x)+.+un(x)+. 称为定义在区间上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数 >函数项级数的收敛点和发散点 对于每一个确定的值x,∈I,函数项级数成为常数项级数 u(o)+uo)+u(o)++u ) 如果该级数收敛，就称x是函数项级数的收敛点；如果该级数 发散，就称x是函数项级数的发散点

➢函数项级数的概念 ➢函数项级数的收敛点和发散点 对于定义在区间I上的函数列 称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数. 由这函数列构成的表达式 对于每一个确定的值 函数项级数成为常数项级数 如果该级数收敛,就称 是函数项级数的收敛点;如果该级数 发散,就称 是函数项级数的发散点

>函数项级数的收敛域和发散域 函数项级数的所有收敛点的全体称为其收敛域， 所有发散点的全体称为其发散域. >函数项级数的和函数 在收敛域上，函数项级数的和是x的函数，称其为函数项级数 的和函数，并写成s(x),即s(x)=∑4(x) ●注 和函数的定义域即为收敛域： 函数项级数前项和记作S,(x),则在收敛域上lims,(x)=s(x). 1一→>00 >函数项级数的余项 称r(x)=s(x)-S(x)为函数项级数的余项， ●注 limr (x)=0. n-→c0

➢函数项级数的和函数 的和函数 , 并写成 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数 ,称其为函数项级数 即 ⚫注 和函数的定义域即为收敛域. ➢函数项级数的余项 称 为函数项级数的余项. ⚫注 函数项级数的所有收敛点的全体称为其收敛域, ➢函数项级数的收敛域和发散域 所有发散点的全体称为其发散域 . 函数项级数前n项和记作 则在收敛域上

幂级数 拯数须级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

幂级数 函数须级数的概念 幂级数及其收敛性 三、 幂级数的运算

幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

>幂级数概念 各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为幂级数： 它的形式是 ∑anx”=a+axta2x2++anx+, n=0 其中常数4o,41,02,0n,.叫做幂级数的系数 ●注 幂级数的一般形式是： a+a1(x-x)+a2(x-x+.+an(x-x。)”+. 可以通过变量代换t=x一x,将其化为上述标准形式

各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为幂级数. 它的形式是 ➢幂级数概念 ⚫注 其中常数 叫做幂级数的系数 . 幂级数的一般形式是: 可以通过变量代换 将其化为上述标准形式

>幂级数的收敛域 >阿贝尔(AbeI)定理 如果级数∑ax“当x=x,(化≠0)时收敛那么 适合不等式xx,的一切x使这幂级数发散。 收敛发散 ● 发散 收O敛 发散

发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 ➢阿贝尔(Abel)定理 ➢幂级数的收敛域 适合不等式 的一切 x 使这幂级数绝对收敛. 如果级数  当 x = x0 (x0  0) 时收敛,那么  n=0 n n a x   n=0 n n 反之, 如果级数 a x 时发散, 的一切 x 使这幂级数发散 . 当 那么适合不等式

>推论 0 如果幂级数∑anx”不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个 n=0 数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数R存在，使得 当xKR时，幂级数绝对收敛 当x>R时，幂级数发散； 当x=R与x=一R时，幂级数可能收敛也可能发散， ●注 R 收敛半径 (-R,R) 一收敛区间 (-R,R)加上收敛的端点 收敛域 收敛发散 发散 收0敛 发散x

(－R , R ) 加上收敛的端点 收敛半径 (－R , R ) 发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 R 收敛区间. 收敛域 ➢推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛,也不是在整个 数轴上都收敛,那么必有一个确定的正数R存在,使得 当 时,幂级数绝对收敛; 当 时,幂级数发散; 当 与 时,幂级数可能收敛也可能发散. ⚫注