《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章 重积分_第五节 三重积分及其在直角坐标系下的计算_三重积分及其在直角坐标系的计算

第五讲三重积分 及其在直角坐标系下的计算

第五讲 三重积分 及其在直角坐标系下的计算

三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直确坐标系下的计算

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三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的慨念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算

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一、三重积分的概念 (一)引例 (二)三重积分的定义

一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义

、三重积分的概念 (一)引例 (二)三重积分的定义

一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义

非均匀物体的质量 f(x,y,=) >分割：把2分为△y1,△y2,△y,△vm >取近似：△M≈f(5,7k,5)Av △Vk >求和：M~∑f5n,)Av k (5k,nk,5a) >取极限：M=∑f5,n,S)A, →0

非均匀物体的质量  ( , , )  k k  kk  v f ( x , y , z ) ➢分割： i n  v ,  v , ,  v , ,  v 把 Ω分为 1 2   ➢取近似： k k k k k M  f ( , , )  v ➢求和： k k k k n k M   f  v = ( , , ) 1    ➢取极限： k k k k n k M =  f  v = → lim ( , , ) 1 0    

、三重积分的概念 (一)31例 (二)三重积分的定义

一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义

一、三重积分的概念 (一)引例 (二)三重积分的定义

一、 三重积分的概念 （一）引例 （二）三重积分的定义

>定义设f(x,y,z)是有界闭区域上的有界函数将闭区域2 任意分成n个小闭区域△y,△y2,.,△yn,其中△y,表示第个小闭 闭区域，也表示它的体积.在每个△y,上任取一点(5，5)》 作乘积f(5,7,5)△y,(i=1,2,n井作和∑f(5,n,5)△，如果 i=l 当各小闭区域直径中的最大值入→0时这和的极限总存在， 且与闭区域的分法及点(5，几，5，的取法无关，那么称此极限 为函数f(x,y,)在闭区域2上的三重积分，记作2f(化，y,z)d业， 即j2fx,)dv=m∑/5，n,5Av 2-→0 i=1 ●注(I)dy称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdyd=. (2)三重积分的物理意义：不均匀物体的质量(x,y,2)≥0)

➢定义 ⚫注 (1) dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz. (2) 三重积分的物理意义: 不均匀物体的质量(f(x,y,z)≥0) ( , , )d lim ( , , ) . 1  0 = → =  n i i i i i Ω f x y z v f    v  设 是有界闭区域上的有界函数.将闭区域Ω 闭区域,也表示它的体积.在每个 任意分成 n 个小闭区域 当各小闭区域直径中的最大值 为函数 f (x, y,z) , , , , 1 2 n v v  v 其中 i v 表示第i个小闭 i v 上任取一点 ( , , ), i i i    作乘积 f ( , , ) v (i 1 ,2, ,n),  i i  i  i =  并作和 ( , , ) . 1  =  n i i i i i f    v 如果  → 0 时这和的极限总存在, f (x, y,z) 在闭区域Ω上的三重积分, 记作 ( , , )d , Ω f x y z v 即 且与闭区域的分法及点 ( , , )    i i i 的取法无关,那么称此极限

三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三、三重积分在直确坐标系下的计算

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