《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章 重积分_第二节 二重积分在直角坐标系下的计算_二重积分的直角坐标计算法

第二讲 二重积分在直确坐标系下的计算

第二讲 二重积分在直角坐标系下的计算

二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法

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>积分区域的表示 X型区域： D={(x,y川p,(x)≤y≤p2(x)a≤x≤b} y=92(x) y=02(x) y=0(x) y=0(x) b x y型区域：D={《x,yyy)sx≤y(y)c≤y≤d xV2(y x=V(00 x2(y)

➢积分区域的表示 X- 型区域: Y- 型区域: o x y a b ( ) 1 y =  x ( ) 2 y =  x o x y a b ( ) 1 y =  x ( ) 2 y =  x y o x d c ( ) 1 x =  y ( ) 2 x =  y y o x d c ( ) 1 x =  y ( ) 2 x =  y D = ( x , y ) | ( x )  y  ( x ) a  x  b  1  2 D = ( x , y ) | ( y )  x  ( y ) c  y  d   1  2

>公式推导 若xy)≥0， f∬fx,Jy)dxdy=V y=02(x) 设曲顶柱体的底为 -w asxsb 任取x,∈[a,b],平面x=xo截柱体的截面积为 y=o(x) )=n 故曲顶柱体体积为 r-,o=4ax=fdy1ax

x b a [ ]d  = 设曲顶柱体的底为 1 2 ( ) ( ) ( , ) x y x D x y a x b       =       任取 平面 故曲顶柱体体积为  = D V f (x, y) d f x y y x x ( , ) d ( ) ( ) 2 1     = b a A(x)d x 截柱体的截面积为 ( ) 2 y =  x ( ) 1 y =  x 0 x z x y o a b D ➢公式推导 若f(x,y)≥0

同样，曲顶柱体的底为 D={(x,y)Ψ1(y)≤x≤w2(y),c≤y≤d} 则其体积可按如下两次积分计算 V-∬nfx,)do Ψ2(y） X= lay d,wd

y d c o x ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y y d c [ ]d  = D =  ( x, y)  1 ( y)  x  2 ( y) , c  y  d  同样, 曲顶柱体的底为 则其体积可按如下两次积分计算  = D V f (x, y) d f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1    f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1     y

二重积分在直角坐标系下的计算 一、计算公式 二、计算方法

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二重积分在直角坐标系下的计算 一、，计算公式 二、计算方法

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◆例1计算 xydo其中 D是由直线y=1 x=3及y=x 围成的闭区域 0

x yo ◆ 例 1 计算 d D xy   其中 D 是由直线 y = 1 及 y x = 围成的闭区域

◆例1计算∫∬xdo其中 D是由直线y=1 x=3及y=x 围成的闭区域 0

x yo ◆ 例 1 计算 d D xy   其中 D 是由直线 y = 1 及 y x = 围成的闭区域