《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数的微分法及其应用_第二节 偏导数_偏导数

第二讲 偏导数

第二讲 偏导数

偏导数 一、偏导数 二、高阶偏导数

偏导数 一、偏导数 二、高阶偏导数

偏导数 一、偏导数 二、高阶偏导数

偏导数 一、偏导数 二、高阶偏导数

一偏导数 (一)定义 (二) 求法 (三)几何意义 (四)与连续的关系

一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法 (三) 几何意义 (四) 与连续的关系

偏导数 (一)定义 (二)求法 (三)几何意义 (四)与连续的关系

一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法 (三) 几何意义 (四) 与连续的关系

>引入 理想气态方程：P= RT 温度7不变 等温过程 P对的变化率？ 容积不变 等容过程 P对7的变化率？ z=f(x,y) 固定y z对x的变化率？ 固定x 对的变化率？ 一元函数 li Ay lim f(x+△x)-f(x) x→0△x △x→0 △x △z lim =lim f(x。+△x,yo)-f(xo,yo) r0△x △x-→0 →二元函数 △x △ m f(xo,%+△y)-f(xo,o） 0△y △x→0 △y

➢引入 理想气态方程： 温度T不变 V RT P = 等温过程 P对V的变化率？ 容积V不变 等容过程 P对T的变化率？ z = f (x, y) 固定y z对x的变化率？ 固定x z对y的变化率？ x f x x f x x y x x  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 一元函数 二元函数 x z x    →0 lim x f x x y f x y x  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 y z y    →0 lim y f x y y f x y x  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0

>定义1 设函数=f(化y)在点xo)的某一邻域内有定义，当y固定在0 而x在x,有增量△x时，相应的函数有增量：f(ko+△x,o)-f(co) 如果 lim f(x。+△x,o)-f(xo,) △x 存在，那么称此极限为函数f(cy)在点xoo)处对x的偏导数， 记作： of ax=’x=x f(xo-Yo) y=0 Y=Yo 类似地，函数z=f(xy)在点co)处对的偏导数定义为： lim f(o,Yo+Ay)-f(o>Yo) △y→0 △y 记作： Oz y=0 f,(x,》 x=0 yx=x0 =0 y=Yo y=

➢定义1 设函数z=f (x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内有定义，当y固定在y0 而x在x0有增量Δx时,相应的函数有增量:f (x0+Δx,y0 )－f (x0 ,y0 ) 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，那么称此极限为函数z=f (x,y)在点(x0 ,y0 )处对x的偏导数， 记作： , , , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y x f x z x y y x x x y y x x y y x x = = = = = =     类似地，函数z=f (x,y)在点(x0 ,y0 )处对y的偏导数定义为： y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记作： , , , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y y f y z y y y x x y y y x x y y x x = = = = = =    

>定义2 如果函数f(化，y)在区域D内每一点化y)处对x的偏导数都存在， 那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数f(化y)对自 变量x的偏导函数，记作： 过 ax 类似地，可以定义函数f(化y)对自变量的偏导函数， 记作： Oz 斗 通常把偏导函数简称为偏导数 >偏导函数与偏导数的区别与联系： 区别： f(x,y)—函数 f(x,0 数 联系： f(xo,yo)=f(,y) =y0

➢定义2 如果函数z=f (x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y的函数，它就称为函数z=f (x,y)对自 变量x的偏导函数，记作： x x z f x f x z , , ,     类似地，可以定义函数z=f (x,y)对自变量y的偏导函数, 记作： y y z f y f y z , , ,     通常把偏导函数简称为偏导数 ➢偏导函数与偏导数的区别与联系: 区别: f (x, y) x 函数 ( , ) 0 0 f x y x 数 联系: 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 y y x x x x f x y f x y = = =

偏导数 (一)定义 (二)求法 (三)几何意义 (四)与连续的关系

一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法 (三) 几何意义 (四) 与连续的关系

·偏导数 (一)定义 (二)求法 (三)几何意义 (四)与连续的关系

一 偏导数 (一) 定义 (二) 求法 (三) 几何意义 (四) 与连续的关系