《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_第五节 高阶线性微分方程_高阶线性微分方程

第五讲 高阶线性微分方程

第五讲 高阶线性微分方程

高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构

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引例 ◆例1设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量 为的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的 重力与弹性力大小相等、方向相反物体的初始速度为 ”≠0，阻力的大小与运动速度成正比、方向相反， 确定物体的振动规律。 之邮加

➢引例 ◆例1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量 为m的物体.当物体处于静止状态时，作用在物体上的 重力与弹性力大小相等、方向相反.物体的初始速度为 v0  0, 阻力的大小与运动速度成正比、方向相反， 确定物体的振动规律. x x o

>二阶线性微分方程 形式：y”+p(x)y+q(x)y=f(x) 特点：关于y”yy为一次 >阶线性微分方程 形式：y0+a,(ym-++an-(y+a,(y=fx) 特点：关于ymym-.y’为一次 分类： 〔f(x)丰0 一非齐次 f(x)=0 齐次 对比：一阶线性方程y+P(x)y=Q(x) 通解y=Ce+e) 推广： 齐次方程通解Y非齐次方程特解亚

齐次方程通解Y y  + p(x) y  + q(x) y = f (x) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + −  + = −  非齐次 f (x)  0 齐次 一阶线性方程 y  + P(x)y = Q(x) 通解:    + − Q x x P x x P x x e ( )e d ( )d ( )d  = − P x x y C ( )d e 非齐次方程特解  y f (x)  0 ➢二阶线性微分方程 形式： 特点： ➢n阶线性微分方程 形式： 特点： ( ) ( 1) n n y y y y − 关于  为一次 关于 y y y   为一次 分类： 对比： 推广：

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高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、 线性微分方程的结抱

高阶线性微分方程 一、高阶微分方程的概念 二、线性微分方程的结构

二、线性微分方程解的结构 (一) 线性齐次方程解的结构 (二) 线性非齐次方程解的结构

二、线性微分方程解的结构 （一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构

二、线性微分方程解的结构 (一) 线性齐次方程解的结构 (二) 线性非齐次方程解的结构

二、线性微分方程解的结构 （一）线性齐次方程解的结构 （二）线性非齐次方程解的结构

>定理1 若函数(x),(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=Cy(x)+Cy2(x)(C1,C为任意常数) 也是该方程的解. 叠加原理) ●注y=C,(x)+C(c)不一定是所给二阶方程的通解 例：(x)是某二阶齐次方程的解， y2(x)=2(x)也是齐次方程的解 CM(x)+C2y2(x)=(C1+2C2)1(x)并不是通解

(叠加原理) ➢定理1 ⚫注 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 例: 不一定是所给二阶方程的通解. ( ) ( ) 1 1 2 2 y = C y x +C y x ( ), ( ) 1 2 y x y x 是二阶线性齐次方程 y  + P(x)y  + Q(x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y = C y x +C y x 为任意常数) 若函数