《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分_第四节 反常积分_反常积分

第四讲 反常积分

第四讲 反常积分

反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

>引例 曲线y=三和直线X=1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积 -》 记作： 无穷限的反常积分

2 1 x y = 1 b 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积.  + = 1 2 d x x A  →+ = b b x x A 1 2 d lim b b x 1 1 lim       = − →+       = − b→+ b 1 lim 1 =1 ➢引例 记作: 无穷限的反常积分

设f(x)∈C[a,+oo),任取t>a, ()dx 函数f(x)在无穷区间[4，+o)上的反常积分 记为∫”f(x)dk,即f(x)dx-lim∫f(x)dx >定义（反常积分“fx)dc的收敛与发散） 设函数f(x)在区间[a,+o∞)上连续，如果上述极限存在，那么 称反常积分∫。f(x)收敛；并称此极限为该反常积分的值； 如果上述极限不存在，那么称反常积分f(x)dx发散

函数 f (x) 在无穷区间[a,+∞)上的反常积分 设 f (x)C[a, + ), 任取 t a  , 记为 即 称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 那么称反常积分 发散 . 并称此极限为该反常积分的值； 设函数 f (x) 在区间[a,+∞)上连续,如果上述极限存在,那么 ➢定义 (反常积分 ( )d 的收敛与发散) a f x x +  

设f(x)∈C(-oo,b]任取t定义（反常积分∫fx)dx的收敛与发散） 设函数f(x)在区间（一∞，]上连续，如果上述极限存在，那么 称反常积分∫fx)dx收敛：并称此极限为该反常积分的值； 如果上述极限不存在，那么称反常积分「f(x)dx发散

设 f x C b ( ) ( , ],  − 任取 t b  , 记为 即 ➢定义 (反常积分 ( )d 的收敛与发散) b f x x − 函数 f (x) 在无穷区间 ( , ] − b 上的反常积分 称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 那么称反常积分 发散 . 并称此极限为该反常积分的值； 设函数 f (x) 在区间 ( , ] − b 上连续,如果上述极限存在,那么

设f(x)∈C(-o,+o) ∫°fx)dr+∫。"fx)dxr 函数fx)在无穷区间(-∞，+∞)上的反常积分 记为Jf(x)dx,即f(x)dx=∫fx)dx+∫fx)d >定义（反常积分fx)dx的收敛与发散） 设函数f)在区间（一0，+∞止连续，如果反常积分f(x)dx 与反常积分∫，f(x)dx均收敛，那么称反常积分∫”f(x)dx收敛， 并称'f(x)dr+∫f(x)d为反常积分∫。f(x)dx的值， 否则就称反常积分f(x)dx发散

设 f x C ( ) ( , )  − +  记为 即 ➢定义 (反常积分 f x x ( )d 的收敛与发散) +  − 函数 f (x) 在无穷区间 ( , ) − +  上的反常积分 与反常积分 均收敛, 那么称反常积分 收敛, 并称 否则就称反常积分 发散 . 设函数 f (x) 在区间 ( , ) − +  上连续,如果反常积分 为反常积分 的值

若Fx)是x)的原函数，引入记号 F(+oo)=lim F(x);F(-oo)=lim F(x) X→+0 X→-00 则有类似牛-莱公式的计算表达式： 店fx)d=F(x)a=F+o-F@ =● f)d=F()2=Fb)-F（-o） ()d=F))-F()

引入记号 F( ) lim F(x) ; x→+ + = F( ) lim F(x) x→− − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d  + = F(x) = F(+) − F(a) f x x b ( )d − = F(x) = F(b) − F(−) f (x)dx  + − = F(x) = F(+) − F(−) 若F(x)是f(x)的原函数

◆计 思专上二X对吗9 ◆例2计算)1epd1(p>0) ◆例3 正明产当p1时收致；p51时发款 ●注.牢记结论

o x y 2 1 1 x y + = 思考: ◆例1 ◆例2 ◆例3 证明 当 p >1 时收敛 ; p≤1时发散. ⚫注 牢记结论 计算 计算

反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分