《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用_第三节 泰勒公式_泰勒公式

第三讲 泰勒公式

第三讲 泰勒公式

泰勒公式 一、泰勒公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用

泰勒公式 一、泰勒公式 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用

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>研究问题 近似计算 较复杂 简单 误差 f(x)二P(x)十R.(x) 理论分析 学逅手f(x) k三01，Z,.,n >探究问题 ↑ Pi(x)=f(xo) P1(x)=f'(x) 微分fx)=÷次多项式间+误差)

➢研究问题 f (x) 多项式 余 项 p (x) n R (x) n 较复杂 简单 误差 近似计算 理论分析 微分 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x = f x + f  x x − x + o x − x ( ) ( ) 1 0 0 p x = f x ( ) ( ) 1 0 0 p  x = f  x ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) p x f x k k n = k n = 0,1,2, , (( ) ) 0 n o x − x ? 一次多项式p1 (x) 误 差 ➢探究问题

>Pn(x)的确定 Pa(x)=ao+aj(x-xo)+az(x-xo)2++a(x-xo)" 令x→x→an=p(x)=f(x) P(x)=aj+2a2(x-xo)++na (x-xo)" 令r→一a,=%()-x》 =2a++mn-1a.c- 1 令x→x一4，=)=" 2! 2! p(x)=n 令→6一4，=p2)“《) n! n 2! f((x-x n

令 ( ) a0 = p x0 令 1! ( ) 0 1 p x a n  = 令 2! ( ) 0 2 p x a n  = 令 ! ( ) 0 ( ) n p x a n n n = ( ) x0 = f 1! ( ) x0 f  = 2! ( ) 0 f  x = ! ( ) 0 ( ) n f x n = ➢ pn (x)的确定

>余项Rnx)的确定 R(x)=f(x)-P(x) R(x)=p(x)-f(x)=0(k=0,1,2,m) lim R,(x) lim R'(x) R(x)=R(x)=0 x->xo ()"n) R"(x) lim 使用洛必 R(x)=0 m(n-10(x-x,)）- 法则 =.lim ) x→n(x-x) R%-(x)=0 1 =lim -R-()=1 n!x-→x x-xo ()=0

➢ 余项R n (x )的确定 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) R x p x f x k k n k n = − = 0 ( k = 0 , 1 , 2 ,  , n ) 0 0 ( ) lim ( ) n n x x R x → x x − 0 1 0 ( ) lim ( ) n n x x R x n x x → −  = − 0 2 0 ( ) lim ( 1)( ) n n x x R x n n x x → −  = − − =  多次使用洛必达法则 0 ( 1) 0 ( ) lim !( ) nn x x R x n x x − → = − 0 0 ( ) ( ) 0 R x R x n n = =  0 ( ) 0 R x n  = ( 1) 0 ( ) 0 n R x n − = 0 ( 1) ( 1) 0 0 1 ( ) ( ) lim ! n n n n x x R x R x n x x − − → − = − ( ) 0 1 ( ) ! n R x n n = = 0

> 泰勒(Taylor)中值定理1 如果函数f(x)在x,处具有阶导数，那么存在x,的一个邻域， 对于该邻域内的任一x,有 函数fx)按c-xo)的幂展开的 动多项司 +( 带有佩亚诺余项的阶泰勒公式 其中 R.(x)

➢ 泰勒(Taylor)中值定理1 如果函数 在 处具有n阶导数,那么存在 对于该邻域内的任一x，有 其中 函数f (x)按(x-x0 )的幂展开的n次泰勒多项式 佩亚诺 余项 函数f (x)按(x-x0 )的幂展开的 带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式 的一个邻域

>研究问题 近似计算 较复杂 简单 误差 f(x)=P,(x) 理论分析 R,(x) 学逅手f(x) 案频门 定性 k三01,2Z,.,n 表达式？ 定量 >探究问题 Pi(x)=f(xo) P(x)=f'(x) 微分∫x)=一次多顶式的+误差) 拉格朗日中值定理f(x)=f(化，)+∫'()(x-x,)

➢研究问题 f (x) 多项式 余 项 p (x) n R (x) n 较复杂 简单 误差 近似计算 理论分析 微分 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x = f x + f  x x − x + o x − x ( ) ( ) 1 0 0 p x = f x ( ) ( ) 1 0 0 p  x = f  x ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) p x f x k k n = k n = 0,1,2, , (( ) ) 0 n o x − x 定性 定量 拉格朗日中值定理 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x = f x + f   x − x 表达式? ? 一次多项式p1 (x) 误 差 ➢探究问题

>余项R)的确定 R.(x)=f(x)-p.(x Rg(x。)=p(x)-f(x)=0(k=0,1,2,.,m) R(x)、 R(x)-R(Xo)_ R(5) (c-x)+1 (x-x)*1_0 (n+1)(5-x” (5在x,与x之间) 次使用 R(5)-R(xo) R(5) (n+10(51-x)0(n+1)n(52-x)-1 (5在x与51之间) 中值定理 R(5n)-R)-R*(5) fa*》(5) (n+1).2(5m-x)-0 (n+1)! (n+1)! (5在x与x之间)

➢ 余项Rn (x)的确定 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) R x p x f x k k n k n = − = 0 (k = 0,1,2,  ,n) 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x ( ) ( ) 1 0 + − = n n x x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n n n + − =    n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + −  =   ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + −  =   1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + −  = n n n n x R   = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n  ( ) 0 R x − n − 0 ( ) Rn x0 −  − 0 ( ) 0 ( ) R x n − n − 0 1 ( 在x0与x 之间) 2 ( 在x0与  1 之间) (在x0与 n 之间) ( 1)! ( ) ( 1) + = + n f n  x 多 次 使 用 柯 西 中 值 定 理

>泰勒(Taylor)中值定理2 如果函数f(x)在x,的某个邻域U(x内具有(n+1)阶导数， 那么对任一x∈U(x),有 函 函数f)按x-x)的幂展开的 +R.( 带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式 其中 R(x)= a)" 这里5是x与x之间的某个值

➢ 泰勒(Taylor)中值定理2 其中 这里 是 与 之间的某个值. 函数f (x)按(x-x0 )的幂展开的n次泰勒多项式 拉格朗日 余项 函数f (x)按(x-x0 )的幂展开的 带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式 如果函数 在 的某个邻域 内具有 那么对任一 有 阶导数