《高等数学》课程教学资源（习题课）空间解析几何与向量代数习题课

第八章习题课 空间解析几何与向量代数 一、基本要求 二、 要点提示 三、 例题

一 、 基本要求 二、 要点提示 空间解析几何与向量代数 第八章 习题课 三、 例题

一基本要求 1.认识空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及 用坐标表达式进行向量运算的方法. 3.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积） 4.了解两个向量垂直、平行的条件. 5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用 平面、直线的相互关系，解决有关几何问题

一 基本要求 1.认识空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及 用坐标表达式进行向量运算的方法． 3.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）， 4.了解两个向量垂直、平行的条件． 5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用 平面、直线的相互关系，解决有关几何问题．

6理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的 方程及其图形. 7.了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程. 8.了解空间曲线方程的概念 了解空间曲线的参数方程和一般方程. 会求空间曲线在坐标平面上的投影

6.理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的 方程及其图形. 7.了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程. 8.了解空间曲线方程的概念． 了解空间曲线的参数方程和一般方程． 会求空间曲线在坐标平面上的投影．

二 要点提示 向量代数： 一、向量及其坐标 1向量 模 a= +a 方向余弦 cOS@= 0 Va"+a,ta a 2+d +a. 2+d +a

二 要点提示 向量代数： 2 2 2 x y z a  a  a  a  一、向量及其坐标 1 向量 模 a  ax , a y , az  2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos x y z x y z x y z x y z a a a a a a a a a a a a             方向余弦

2单位向量 cosa.cosB.cosy) 基本单位向量 7,7,k 3两向量的夹角 a.b ab,+a by +ab 0 arccos arccos ab 回+g+G6++6 4向量的投影 Pm,b=cos(a,)(亿在a上的投影

u   0 cos ,cos ,cos a a a         2 单位向量 i j k    基本单位向量 , , 2 2 2 2 2 2 arccos arccos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a b a b a a a b b b                3 两向量的夹角 Prjab  b cosa,b  b a         在 上的投影 4 向量的投影

二、向量的运算 1线性运算 加减：a±b=(a,±b,a,±b,a±b） 数乘向量 2a=(aa,a,a),(2ala） 2数量积 8g-u85: (3)a-B=aPrjB=BPrja;(4)a1Ba.B=0

          1 ; 2 cos 0, 0 ; 3 Pr j Pr j ; 4 0. a b a b a a a a b a b a b a b b a a b a b                                      二、 向量的运算 1 线性运算 a  ax ,ay ,az , a a     cos x x y y z z a b  a b   a b  a b  a b     加(减): a  b   ax  bx , ay  by , az  bz    数乘向量 2 数量积

3.向量积 a×b是一向量： 模la×b=lbsm0方向按a,b,a×b成右手系 axb= a. b (①a×b=-bxa (2)以a,为邻边的平行四边形面积S=a×b (3)与a,b同时垂直的向量可取作n=a×b

a b  a b sin     模 a,b,a b     方向按 成右手系. a  b   3.向量积 是一向量： x y z x y z i j k a b a a a b b b        1 a b  b  a;     （2）以 a,b为邻边的平行四边形面积   S  a b   (3) 与 a,b同时垂直的向量可取作   n  a b   

4混合积 a=(as,ay,a:).B=(bs.by.b=).G=(cx.cy.c: [abc]=(axb).c

x y z x y z b b b a a a  4 混合积 设  ( a b ) c ( , , ), a  ax ay az  a b c  ( , , ), x y z b  b b b ( , , ) x y z c  c c c x c y c z c

两非零向量平行、垂直的等价条件： alb=b=a÷a×b=0→ a1b→ab=0→a,b+a,b,+a.b.=0

两非零向量平行、垂直的等价条件： 0 x y z x y z b b b a b b a a b a a a                  0 0 x x y y z z a  b  a b   a b  a b  a b     

空间解析几何 曲面 ⑩二次曲面 球面，椭球面， 抛物面，双曲面，圆锥面 ⑩旋转曲面 曲线f(y,)=0绕：轴→旋转面f壮√x2 ⑩柱面 方程中缺少变量，准线和母线

空间解析几何 一、曲面 二次曲面 球面，椭球面，抛物面，双曲面，圆锥面 旋转曲面 柱面 方程中缺少变量，准线和母线  ,  0  ,  0 2 2 曲线f y z  绕z轴 旋转面f  x  y z 