《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章_11-2对坐标的曲线积分

第二节对坐标的曲线积分 ·一、问题的提出 ·二、对坐标的曲孩积分的橇急 ·三、对坐标的曲孩积分的计算 ·四、两美曲孩积分之同的联素 。五、小结思考题

第二节 对坐标的曲线积分 • 一、问题的提出 • 二、对坐标的曲线积分的概念 • 三、对坐标的曲线积分的计算 • 四、两类曲线积分之间的联系 • 五、小结 思考题

一、问题的提出 实例：变力沿曲线所作的功 L:A→B, F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j 常力所作的功 分割A=M,M(化，J),Mn-(cyMn=B. M-1M,=(△x,)i+(△y,)j:

o x y A B L Mn1 Mi1 M2 M1 i x i 实例 y : 变力沿曲线所作的功 L A B : ,  F x y P x y i Q x y j ( , ) ( , ) ( , )   常力所作的功 分割 0 1 1 1 1 1 1 , ( , ), , ( , ), . A M M x y M x y M B n n n n    1 ( ) ( ) . M M x i y j i i i i      W F AB   . Mi 一、问题的提出

近似 (5,7)eMM, F(5,1) MM. F(5,)=P(5,n,)i+0(5,), M △W;≈F(5,n,)M1M, .△W≈P(5,;)△x,+(5,n)Ay 求和W=立A形=2IP发，nA+Q5,74l 取极限设孔=2A} ()Ax,+()

o x y B L ( , ) F i i   xi i y 近似 取极限 0 1 lim [ ( , ) ( , ) ]. n i i i i i i i W P x Q y             ( , ) ( , ) ( , ) , F P i Q j i i i i i i         1 ( , ) , W F M M i i i i i       ( , ) ( , ) . W P x Q y i i i i i i i          1 1 [ ( , ) ( , ) ]. n n i i i i i i i i i W W P x Q y               A 1 max{ }i i n  s   设   1 ( , ) ,  i i i i  M M Mn1 Mi Mi1 M2 M1 求和

二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲 线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.用L上的点 M1(x1,1),M2(x2y2),Mn-1(cm-1,yn-1)把L分成 个有向小弧段 M-1M:(i=1,2,.,店M=A,Mn=B). 设△x,=X-x-1)△y,=y,-y-1,点(5，)为M-1M 上任意取定的点.如果当各小弧段长度的最大值 元→0时

二、对坐标的曲线积分的概念 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 , ( , ), ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , , ( , ) . 0 , nnn i i n i i i i i i i i i i L xoy A B P x y Q x y L L M x y M x y M x y L n M M i n M A M B x x x y y y M M                   设 为 面内从点 到点 的一条有向光滑曲 线弧 函数 在 上有界 用 上的点 把 分成 个有向小弧段 设 点 为 上任意取定的点 如果当各小弧段长度的最大值 时 1.定义

∑P(5,n,)△x,的极限存在，则称此极限为函数P(x,y) 在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分（或称第二类曲线 积分)，记作 ∫P(x,y)dc=Iim∑P(5,n,)△x -0 类似地定义∫2(x,y)=1im∑0(5,7，)A i=1 其中P(化，y),Q(x,y)叫做被积函数，L叫积分弧段

1 0 1 ( , ) , ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , . n i i i i n i i i L i P x P x y L P x y dx x P x               对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函数 在有向曲线弧 上 积分 或称第二类曲线 积分） 记作 类似地定义 0 1 ( , ) lim ( , ) . n i i i L i Q x y dy Q y          其中P x y Q x y L ( , ), ( , )叫做被积函数, . 叫积分弧段

2.存在条件：当P(x,y),Q(,y)在光滑曲线弧L 上连续时，第二类曲线积分存在. 3.组合形式 ∫P(x,)k+∫(x,) =∫P(x,y)dc+(x,y)=∫，F. 其中产=pi+O,=di+i. 注：函数f(x,y)在闭曲线L上对坐标的曲线 积分记为，P(x,)+(x,y)

2.存在条件： ( , ), ( , ) , . 当P x y Q x y L 在光滑曲线弧 上连续时 第二类曲线积分存在 3.组合形式 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . , . L L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy F dr F Pi Qj dr dxi dyj              其中 ( , ) ( , ) ( , ) . L P x y dx Q x y dy f x y L   注：函数 在闭曲线 上对坐标的曲线 积分记为

4.推广空间有向曲线弧工，∫Pk+Q+R. nP(x,z)k=im∑P(5,n,5)△x 2→0 i=1 0x,a=m205n,5)4 ∫nRx,3dk=m∑R5n,5)A 类似地 ∫Ptc+0+R=∫nA(x,z而 A(x,z)=P(x,z)i+Q(x,zj+Rx,八，2)k

4.推广 , . Pdx Qdy Rdz     空间有向曲线弧  Pdx Qdy Rdz A x y z dr ( , , )        0 1 0 1 0 1 ( , , ) lim ( , , ) ( , , ) lim ( , , ) ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i n i i i i i n i i i i i P x y z dx P x Q x y z dy Q y R x y z dz R z                                  ， ， A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )    类似地

5.性质 ()J,[a(c,)+B(x,y而 =a(化，以小面+(c,). (2)如果把L分成L,和L2,则 ∫，P+Q=∫，Pk+Q+∫P&+O. (3)设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的 有向曲线弧，则 」P(,y)d+(x,y)=-∫，P(x,y)+(xy) 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关

5.性质 1 2 1 2 (2) , . L L L L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy         如果把 分成 和 则 (3) , , 设L L L 是有向曲线弧  是与 方向相反的 有向曲线弧 则 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy        1 2 1 2 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . L L L F x y F x y dr F x y dr F x y dr             

三、对坐标的曲线积分的计算 定理设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连 续，的参数方程为x=o 当参数t单调地由a变 y=w(t), 到B时，点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B, p(t),w()在以ax及B为端点的闭区间上具有一阶连 续导数，且p2(t)+y2(t)≠0，则曲线积分 JP(x,y)k+(x,y)存在，且

三、对坐标的曲线积分的计算 2 2 ( , ), ( , ) ( ), , ( ), , ( , ) , ( ), ( ) , ( ) ( ) 0, ( , ) ( , ) , L P x y Q x y L x t L t y t M x y L A L B t t t t P x y dx Q x y dy                      设 在曲线弧 上有定义且连 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 续导数 且 则曲线积分 存在 且 定理

∫P(x,y)dk+(x,y) =S"iPI()v(()+Ql().v(tI(jd 证：假定当参数由变至B时，L上的点由A点 移至B点，在L上取一系列的点 A=M,M,M,M,M=B 设各分点对应参数为 x=t0 i=1

设各分点对应参数为 t L A B L 证：假定当参数 由  变至 时, 上的点由 点 移至 点,在 上取一系列的点 0 1 2 1 , , , , , A M M M M M B   n n  根据定义 ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} L P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt               