《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章_8.1向量及其线性运算

第、章 空间解析儿何与向量代教 第一部分向量代数 第二部分空闷解折儿何 在三雅空间中： 空同形式一点，孩，面 11 数量关系一坐标，方程() 基牵方法一坐标法：向量法

数量关系 — 第八章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 空间解析几何与向量代数

第一节向量及其孩性运算 ·一、向量橇念 ·二、向量的孩性运算 ·三、空间直角坐标 ·四、利用坐标作向量的孩性适算 ”五、向量的模、方向角、校影

第一节 向量及其线性运算 • 一、向量概念 • 二、向量的线性运算 • 三、空间直角坐标系 • 四、利用坐标作向量的线性运算 • 五、向量的模、方向角、投影

一、向量的概念 向量（矢量）：既有大小又有方向的量 以M为起点，M为终点的有向线段 M 向量表示：或MM, 向量的模：向量的大小.|d|或M,M 单位向量：模长为1的向量.e或a或M,M2 零向量：模长为0的向量.0 >注：零向量的方向是任意方向

向量(矢量)：既有大小又有方向的量. 向量表示： M1 M2 或 1 2 a M M 模长为1的向量. 零向量：模长为0的向量. 0 向量的模：向量的大小. 单位向量： 0 0 a 1 2 e a M M 或 或 以M1为起点，M2为终点的有向线段  注：零向量的方向是任意方向 或 1 2 | | a M M 一、向量的概念

自由向量（简称向量）：不考虑起点位置的向量 向量相等：大小相等且方向相同的向量 a 负向量：大小相等但方向相反的向量.一 -q

自由向量(简称向量)：不考虑起点位置的向量. 向量相等：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a a b a a

向量的夹角： 设有两个非零向量，任取空间一点0，作0A=4,0B=6 规定不超过π的∠AOB,(设p=∠AOB,0≤p≤π)称为 向量a与的夹角，记作(a,b)或b,即(a,=p. B b > 注意：1°向量间的夹角的范围是0π，即0≤(a,≤π. 2若两向量与冲有一个是零向量，则规定它们的 夹角可以是0到π之间的任意值

向量的夹角： 设有两个非零向量，任取空间一点 作 规定不超过 的 ，(设 )称为 向量 与 的夹角，记作 或 ，即 , , , 0 ( , ) ( , ) ( , ) . O OA a OB b AOB AOB a b a b b a a b              若两向量 与 中有一个是零向量，则规定它们的 夹角可以是 到 之间的任意值 0 2 0 . a b  O A B a b  0  注意： 1 0 0 ( , ) . 向量间的夹角的范围是   ，即   a b

平行：若(a,b=0或π 记作a1/6 垂直：若列-牙记作a1石 注：零向量与任意向量都平行， 零向量与任意向量都垂直. 共线：当两个平行向量的起点放在同一点时， 它们的终点和公共起点应在一条直线上，因此 两向量平行，又称为两向量共线 共面：设有k(≥3)个向量，当它们的起点放在同一 点时，若k个终点和公共起点在一个平面上，就称这 k个向量共面

平行： 垂直： 若( , 0 a b)  或 记作a b / / 若( , ) 记作 2 a b a b    注：零向量与任意向量都平行， 零向量与任意向量都垂直. 共线：当两个平行向量的起点放在同一点时， 它们的终点和公共起点应在一条直线上，因此 两向量平行，又称为两向量共线. 共面：设有k(k≥3)个向量，当它们的起点放在同一 点时,若k个终点和公共起点在一个平面上，就称这 k个向量共面

二、向量的线性运算 1、向量的加减法 b [山加法：d+b= (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地：若a/1b分为同向和反向 b Ha+1b列 L b c a 1=la-16列

[1] 加法： a b c   a b c （平行四边形法则） a b c | | | | | | c a b   特殊地：若 a b / / 分为同向和反向 b a c | | | | | | c a b   （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 1、向量的加减法 二、向量的线性运算

S=41+2+43+04+ a

s 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 1 2 3 4 5 s a a a a a     

向量的加法符合下列运算规律： (1)交换律：a+b=b+a. (2)结合律：a+b+c=(d+b)+c=i+(b+c) (3)i+(-=0. 2减法d-方=d+(-b) c=i+(-b) d-6 =a-b

向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a    . （2）结合律： a b c a b c a b c         ( ) ( ). （3） a a    ( ) 0. [2] 减法 a b a b    ( ) a b   b   b  c  c a b ( ) a b      a b  a b  a b c

特殊地：a-4=0 三角不等式：a+≤d+l a-b≤a+bl

特殊地： a a   0 三角不等式： a b a b    a b a b   