《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.8多元函数的极值及其求法

第、节多元强教的极值及其求法 一、二元高数的极值和最值 二、条件极值拉格朗日乘赵法 三、小结

第八节 多元函数的极值及其求法 一、二元函数的极值和最值 二、条件极值拉格朗日乘数法 三、小结

一、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=- e的图形 x

一、多元函数的极值和最值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e x y z   

1、二元函数极值的定义 定义设函数z=f(x,y)的定义域为D,P(xo,) 为D的内点，若存在P的某邻域U(P)cD,使得 对于该邻域内异于P的任何点(x,y),都有 f(x,y)<f(xo,Yo), 则称函数f(x,y)在点(x,)有极大值f(x,y) 点(x,y)为函数f(x,y)的极大值点

1、二元函数极值的定义 000 0 0 0 ( , ) , ( , ) ( ) ( , ), z f x y D P x y D P U P D P x y   设函数 的定义域为 为 的内点，若存在 的某邻域 ，使得 对于该邻域内异于 的任何点 定义 都有 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y x y f x y x y f x y  则称函数 在点 有极大值 ， 点 为函数 的极大值点

若对于该邻域内异于P的任何点(x,y),都有 f(x,y)>f(xo,Yo), 则称函数f(x,y)在点(x,)有极小值f(xo,y) 点(x,y)为函数f(x,y)的极小值点. 极大值、极小值统称为极值。 使函数取得极值的点称为极值点

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) P x y f x y f x y f x y x y f x y x y f x y  若对于该邻域内异于 的任何点 都有 则称函数 在点 有极小值 ， 点 为函数 的极小值点. 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点

例1函数z=3x2+4y2 在(0,0)处有极小值， (1) 例2函数z=-√x2+y2 (2) 在(0,0)处有极大值. 例3函数z=xy 3) 在(0,0)处无极值

(1) (2) (3) 2 2 1 3 4 (0, 0) 例 函 数 z x y   在 处 有 极 小 值． 2 2 2 (0, 0) 例 函 数 z x y    在 处 有 极 大 值． 3 (0, 0) 例 函 数 z xy  在 处 无 极 值 ．

2、二元函数取得极值的条件 定理1（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(x,y) 具有偏导数，且在(x,y)处有极值，则有 f(x,)=0,f(xo,y)=0 证不妨设z=∫(x,y)在点(x,y)处有极大值， 则对于(x,y)的某邻域内的任一点(x,y)≠(x,y,) 都有f(x,y)<f(xo,y)

2、二元函数取得极值的条件 证 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 1( ) x y z f x y x y x y f x y f x y    设函数 在点 具有偏导数，且在 处有极值，则有 ， 定理 必要条件 0 0 不 妨 设 z f x y x y  ( , ) ( , ) 在 点 处 有 极 大 值 ， 0 0 0 0 则 对 于 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y 的 某 邻 域 内 的 任 一 点  0 0 都 有 f x y f x y ( , ) ( , ) 

故当x≠xy=y,时，f(x,y)<f(x,y)》 说明一元函数z=f(x,y)在点x处有极大值， 必有∫(x,y)=0. 类似的f,(x)=0. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点。 注意：驻点极值点 例如：点(0,0)是函数z=xy的驻点，但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 0 0 0 0 0 故 当 x x y y f x y f x y    时 ， ( , ) ( , )， 0 0 说 明 一 元 函 数 z f x y x  ( , )在 点 处 有 极 大 值 ， 0 0 ( , ) 0 . x 必 有 f x y  0 0 ( , ) 0 . y 类 似 的 fxy  例如：点(0,0)是函数z=xy的驻点，但不是极值点

定理2（充分条件）设函数z=f(x,y)在点(x,y) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数， 又f(x,y)=0,f,(x,)=0 fs(xo2 Vo)=A,fs(xo2 Fo)=B,fw(xo2 Yo)=C 则f(x,y)在点(x,y)处是否取得极值的条件如下： (1)AC-B2>0时具有极值，且 当A0时有极小值； (2)AC-B2<0时没有极值； (3)AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值， 另作讨论

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) x y xx xy yy z f x y x y f x y f x y f x y A f x y B f x y C f x y x y       设函数 在点 的某邻域内连续，有一阶及二阶 定理 充分条 连续偏导数， 又 ， 令 ， ， 则 在点 处是否取得极值的条 件 件如下： 2 ( 2 ) 0 A C B   时 没 有 极 值 ； 2 (1) 0 0 0 AC B A A     时具有极值，且 当 时有极大值，当 时有极小值； 2 (3) 0 AC B   时可能有极值，也可能没有极值， 另作讨论

求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f(x,y)=0 f(x,y)=0 求出实数解，得驻点。 第二步对于每一个驻点(x,), 求出二阶偏导数的值A、B、C. 第三步定出AC-B的符号， 再判定是否是极值. 注：偏导数不存在点也有可能是极值点.（例2）

求函数 z  f ( x , y ) 极值的一般步骤: 第一步 解方程组      ( , ) 0 ( , ) 0 f x y f x y y x 求出实数解,得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ( , ), 0 0 x y 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC  B 的符号, 再判定是否是极值. 注：偏导数不存在点也有可能是极值点.(例2)

例4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值. 解：先解方程组 f(x,Jy)=3x2+6x-9=0, f(x,y)=-3y2+6y=0, 得驻点：(1,0)，(1,2)，（-3,0)，(-3,2) 求二阶偏导数 A=fx(x,y)=6x+6,B=f,(x,y)=0, C=fy(x,y)=-6y+6

2 2 ( , ) 3 6 9 0, ( , ) 3 6 0, x y f x y x x f x y y y             3 3 2 2 例 4 ( , ) 3 3 9 . 求 函 数 f x y x y x y x      的 极 值 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2). 解：先解方程组 ( , ) 6 6 , ( , ) 0 , ( , ) 6 6 x x x y y y A f x y x B f x y C f x y y          求二阶偏导数