《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_9-3 全微分

第三讲 全微分

第三讲 全微分

全微分 一、 全微分的概念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

全微分 一、全微分的概念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

全微分 一、金微分的概念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

全微分 一、全微分的概念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

>引入 一元函数 △y=A△☒+o(△x)=f'(x)△x+o(△x) 4 ⑧6+A)≈。)+f⑧ 一近似计算 Ay≈=f'(x)△ 误差估计 二元函数△z=A△x+B△y+o(p)p=VAx)2+(A)?

➢引入 一元函数 y = A x + o ( x ) ( ) ( ) 0 = f  x x + o x 应用 f ( x + x )  f ( x ) + f ( x ) x 0 0 0 近似计算 y  dy = f ( x ) x 0 dy 误差估计 二元函数 z = A x + B y + o ( ) 2 2  = ( x ) + ( y ) ？

>定义 设函数：=f(化，y)在点：y)的某邻域内有定义，如果函数 在点化，y)处的全增量△：=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示为 △z=A△x+B△y+0(P),其中A,B不依赖于△x,△y而仅与x,Jy 有关P=(△x)+(△y),那么称函数f化，y)在点化，y)可微分， 而A△x+B△称为函数zf(xy)在点化y)的全微分，记作dk 即dz=A△x+B△y ●注 △x与△的线性函数dz=A△x+BAy dz的特性 与△相差一个比p高阶的无穷小量 与△x和△y无关 A、B的特性 仅与和有关

➢定义 ⚫注 dz的特性 Δx与Δy的线性函数 与Δz相差一个比ρ高阶的无穷小量 A、B的特性 与Δx和Δy无关 仅与x和y有关 设函数z = f (x, y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数 可表示为  z = Ax + B  y + o( ) , 其中A,B不依赖于x, y 而仅与x, y Ax + By 称为函数z=f (x,y)在点(x,y)的全微分，记作 在点(x, y)处的全增量 有关， 那么称函数f (x, y)在点(x, y)可微分， 而 dz 即 dz = Ax + By. dz = Ax + By

全微分 一、全微分的慨念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

全微分 一、全微分的概念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

全微分 一、金微分的概念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

全微分 一、全微分的概念 二、全微分的存在条件 三、全微分的运算 四、全微分的应用

>定理1 如果函数z=f化，y)在点化，y)可微分，那么函数 乙=f化，y)在点化，y)连续， >定理2如果函数：=f化，y)在点化，y)可微分，那么函数 z=了化，)在点化，)的偏导数与必定存在， 0x 且函数x=f(化，y)在点：，y)的全微分为 da= Ax+ ox Oz A= B= ●注 定理2说明 Ox ∂y 全微分是唯一的 偏导数存在仅是可微的必要条件，而非充分条件

➢定理1 如果函数z = f (x, y) 在点(x, y) 可微分 ,那么函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 连续. ➢定理2 ⚫注 y z B x z A   =   = 全微分是唯一的 偏导数存在仅是可微的必要条件，而非充分条件. 定理2说明 如果函数z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 分, 那么函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 的偏导数 与 必定存在， 且函数z = f (x, y) 在点(x, y)的全微分为 z z x y     d z z z x y x y   =  +   

x2+y2≠0 ◆例1 考察函数f(x,)= x2+y2=0 在(0,0)处的偏导数与可微性. ∂z∂z >定理3若函数z=f化的偏导数元'y 在点化，y)连续 则函数：=f(化，y)在该点可微分. ●注 偏导数连续仅是可微的充分条件，而非必要条件 (x,y)≠(0,0) ◆例2 (x,)=(0,0) 在(0,0)处的偏导数的连续性与可微性

➢定理3 ⚫注 偏导数连续仅是可微的充分条件，而非必要条件. ◆例2 若函数z = f (x, y)的偏导数 y 在点(x, y)连续 z x z     , 则函数z = f (x, y) 在该点可微分. 考察函数 在(0,0)处的偏导数的连续性与可微性. f (x, y) = 2 2 2 2 1 ( )sin x y x y + + (x, y)  (0,0) 0 (x, y) = (0,0) ◆例1 考察函数 在(0,0)处的偏导数与可微性. f (x, y) = 2 2 x y xy + 0 2 2 x + y  0 2 2 0 x + y =

小结 >几个重要概念间的关系 连续 偏导数连续、二可微 偏导数存在 >判断可微的方法 用定义 用定理3 >判断不可微的方法 用定义 用定理1 用定理2

小 结 ➢几个重要概念间的关系 偏导数连续 可微 连续 偏导数存在 ➢判断可微的方法 用定义 用定理3 ➢判断不可微的方法 用定义 用定理1 用定理2