《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）1.4 等可能概型

第四节等可能概型（古典概型) ·一、古典概率公式 ·二、常见的古典概型举例

第四节 等可能概型（古典概型） • 一、古典概率公式 • 二、常见的古典概型举例

E1:抛掷一枚硬币，观察字面，花面出现的情况. H→字面朝上T→花面朝上 S1={H,T} E4:抛掷一枚骰子，观察出现的点数。 S4={1,2,3,4,5,6}

E1 : 抛掷一枚硬币,观察字面，花面出现的情况. 1 S H T = { , }. H → 字面朝上 T → 花面朝上 E4: 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. 4 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1.定义若试验E满足下面两点： 1°试验的样本空间只包含有限个元素； 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。这种 试验称为等可能概型，也称古典概型

定义 若试验 E 满足下面两点： 1°试验的样本空间只包含有限个元素; 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。这种 试验称为等可能概型，也称古典概型。 1

2.古典概型中事件概率的计算公式 设试验E的样本空间由n个样本点构成，事件A 包含k个样本点，则事件A出现的概率为： 古典概型 P(A)= kA所包含样本点的个数 的概率计 n 样本点总数 算公式 说明： (1)样本空间S一由试验目的决定； (2)元素个数的计算一排列、组合（加法原理、乘法原理） (3)等可能性的判断一对称性经验

设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成，事件A 包含 k 个样本点，则事件 A 出现的概率为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式 . k A P A n = = 所包含样本点的个数 （ ） 样本点总数 古典概型 的概率计 算公式 说明： （1）样本空间 S ——由试验目的决定； （2）元素个数的计算 ——排列、组合（加法原理、乘法原理）. （3）等可能性的判断 ——对称性经验

3.古典概型举例 例1.将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况 (I)设事件A为"恰有一次出现正面"，求P(A); (2)设事件A为"至少有一次出现正面"，求P(A): 解设H为出现正面，T为出现反面. S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT. n-8,即S中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发 生的可能性相同，属于古典概型。 (1)A=(HTT,THT,TTH).P(A)=3/8, (2)A,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH. →P(A2)=7/8. 或利用A,的逆事件计算： P(A2)=P({TTT)=1/8→P(A2)=7/8

3. 古典概型举例 解 则S HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT = { , , , , , , , }. 1 (1) { , , }. A HTT THT TTH = 1 得 P A( ) 3 8, = 1 1 2 2 . (1) " ", ( ); (2) " ", ( ). A P A A P A 将一枚硬币抛掷三次,观察正反面出现的情况 设事件 为 恰有一次出现正面 求 设事件 为 至少有一次出现正面 求 设 H T 为出现正面 , . 为出现反面 n = 8，即S 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发 生的可能性相同，属于古典概型。 例1. 2 (2) { , , , , , , }. A HHH HHT HTH THH HTT THT TTH = 2 P A P TTT ( ) ({ }) 1 8 = = / 2  = P A( ) 7 8. 2  = P A( ) 7 8. 或利用A 2的逆事件计算：

注：当样本空间S中的元素较多时概率的计算： 9表在中充的个做}=P-合 一用排列组合知识

1 . 2 S S n k P A A k n    =  注：当样本空间 中的元素较多时概率的计算： （ ）求出 中元素的个数 ； （ ） （ ）求出 中元素的个数 ； —— 用排列组合知识

例2一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球 两次，每次随机取一只。考虑两种取球方式： ()放回抽样：第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球 (b)不放回抽样：第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余 的球中再取一球.试分别就上面两种情况求： (1)取到的两只球都是白球的概率； (2)取到的两只球颜色相同的概率； (③)取到的两只中至少有一只白球的概率

（1）取到的两只球都是白球的概率; （2）取到的两只球颜色相同的概率; （3）取到的两只中至少有一只白球的概率。 例2 一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球 两次，每次随机取一只。考虑两种取球方式： （a）放回抽样：第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球. （b）不放回抽样：第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余 的球中再取一球. 试分别就上面两种情况求：

4只白球、2只红球 解：记A表示取到的两只都是白球； (1)两只球都是白球的概率； B表示取到的两只都是红球； (2)两只球颜色相同的概率； C表示取到的两只中至少有一只白球。 (3)至少有一只白球的概率。 (a)放回抽样：从袋中依次取两球（有放回）， 每种取法为一基本事件，取法总数：6×6；由对称性知 等可能性。 4×44 ①）PA0=6x6 同理P(B)= 2×2_1 6×69 (2)P("两球同色")=P(AUB) -+m活8-写 OPq=PB=1-P=-号

(1) P A( ) 4 4 6 6  =  4 9 = ， (2) P P A B (" ") ( ) 两球同色 = 4 4 2 2 6 6 6 6   = +   = + P A P B ( ) ( ) 5 9 = (3) P C( ) = P B( ) 8 9 = −1 ( ) P B = 2 2 1 6 6 9  =  同理 P B( ) = （a）放回抽样： 从袋中依次取两球（有放回）， 每种取法为一基本事件，取法总数：6×6；由对称性知 等可能性。 4只白球、2只红球 解：记 A表示取到的两只都是白球; B表示取到的两只都是红球; C表示取到的两只中至少有一只白球。 （1）两只球都是白球的概率; （2）两只球颜色相同的概率; （3）至少有一只白球的概率

4只白球、2只红球 (1)两只球都是白球的概率； (2)两只球颜色相同的概率； (b)不放回抽样 (3)至少有一只白球的概率。 ()P(A)= 4×32 6×5 5 支r=C2c-号 P(B)= 2×11 6×515 支rB=Cc-S aPUB)=+P-片+点= 14 (3)PC)=P(B=1-PB)=15

(1) P A( ) 4 3 6 5  =  2 5 = (2) P A B ( ) 2 1 5 15 = + P A P B ( ) ( ) = + 7 15 = (3) P C( ) = P B( ) 14 15 = −1 ( ) P B = 或 2 2 4 6 2 ( ) 5 P A C C = = P B( ) 2 1 6 5  =  1 15 = 或 2 2 2 6 1 ( ) 15 P B C C = = （b）不放回抽样 4只白球、2只红球 （1）两只球都是白球的概率; （2）两只球颜色相同的概率; （3）至少有一只白球的概率

例3将n只球随机地放入N个盒子中去，试求每个 盒子中至多有一只球的概率（设盒子的容量不限，n<N). 分房模型 解：所求概率卫 N(N-1)(N-n+1)_A Na N" (生日问题)假设每人的生日在一年365天(N)中的 任一天是等可能的，求随机抽取的n个人中至少有两人生 日相同的概率p。（n≤365) 解：n个人生日各不相同的概率为 A365 365” 所以至少有两人生日相同的概率为p=1- 365

例 3 将 n 只球随机地放入 N 个盒子中去，试求每个 盒子中至多有一只球的概率（设盒子的容量不限, n <N）. ( 1) ( 1) n N N N n N − − + = n N n A N = （生日问题）假设每人的生日在一年 365 天（N）中的 任一天是等可能的，求随机抽取的 n 个人中至少有两人生 日相同的概率 p。 ( n ≤ 365 ) 解：n 个人生日各不相同的概率为 365 365 n n A 解：所求概率 p 所以至少有两人生日相同的概率为 365 1 365 n n A p = − 分房模型