《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）5.1 大数定律

第五章 大数定律及中心极限定理 第一节大数定律 一、问题的引入 二、基本定理

一、问题的引入 二、基本定理 第五章 大数定律及中心极限定理 第一节 大数定律

一、问题的引入 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性，这种稳定性正是大数定律的客观背景。 复习：契比雪夫不等式 定理设随机变量X具有数学期望E(X)=山，方差D(X)=G, 则对于任意正数西有不等式PX-小心 或：Px-Ek}21-g

  定 设随机变量 具有数学期望 ，方差 则对于任意正数 ， 不等式 理 有 2 2 2 ( ) ( ) , . X E X μ D X σ σ ε P X μ ε ε = = −   复习：契比雪夫不等式   2 2 P X E X( ) 1 ε ε  或： −   − 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性， 这种稳定性正是大数定律的客观背景。 一、问题的引入

二、基本定理 切比雪夫不等式：PX-EX)<c≥1-D 定理一辛钦大数定理（弱大数定理)Khinchin 设随机变量X1,X2,X,.相互独立，服从同一分布，且 E(X)=4(k=1,2,),则对于任意正数8，有 ▣r2x-小小- 证：只针对方差D(X)=σ2（化=1,2，）存在的情形给出证明。 记= 之X,则E(u=私D闭=加=牙 由切比雪夫不等式得 空4小 在上式中令n→o, mP侣空x-水1

1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) , n k X X X E X k = =   设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则对于任意正数 有 1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =    定理一 辛钦大数定理（弱大数定理）Khinchin 二、基本定理 证：只针对方差 2 ( ) ( 1,2, ) D X k k = =  存在的情形给出证明。 2 ( ) { ( ) } 1 D X P X E X ε ε 切比雪夫不等式： −   − 1 n , n  =   2 2 2 1 n , n n  则 E X( ) = D X( ) =  =  1 1 n k k X X n = 记 =  ， 2 2 1 1 1 , n k k P X n n    =      −   −   由切比雪夫不等式得  在上式中令 n → ， 1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =   

说明： 容x水 imP ()辛钦大数定律表明：若随机变量序列X,X2,.Xn,.独立同 分布，当很大时，它们的算术平均值】∑X极大可能接近于 L1 2x- (2)辛钦大数定律并不要求方差存在

(1) 辛钦大数定律表明：若随机变量序列 1 2 , , , X X Xn 独立同 分布，当 n 很大时，它们的算术平均值 1 1 n k k X n =  极大可能接近于 说明: (2) 辛钦大数定律并不要求方差存在. 1 1 n k k E X n =        =  1 1 lim 1. n k n k P X n   →  =     −  =   

定义设Y,Y,.yn,.是一个随机变量序列，a是一个常数， 若对任意的ε>0，有 imP化.-d<e}=l, 则称y,卫n,.依概率收敛于a,记作yn”a 性质：若X,P→a,ynP→b,函数g比，)在点(a,b)连续， 则g(Xn,Yn)P→g(a,b)。 辛钦大数定理（弱大数定理)可表述为： 设随机变量X,X2,Xm,.相互独立，服从同一分布，且 BX=Hk=L2则X=2x,一4

定义 设 1 2 , , , Y Y Yn 是一个随机变量序列，a 是一个常数， 若对任意的 ε >0，有 lim 1  n  n P Y a  →  −  = ， 则称 1 2 , , , Y Y Yn 依概率收敛于 a，记作 P Y a n ⎯⎯→ . 性质：若 P X a n ⎯⎯→ ， P Y b n ⎯⎯→ ，函数 g(x, y) 在点(a,b)连续， 则 ( , ) ( , ) P n n g X Y g a b ⎯⎯→ 。 1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) n k X X X E X k = =  设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则 辛钦大数定理（弱大数定理）可表述为： 1 1 n P k k X X n  = = ⎯⎯→ 

定理二（伯努利大数定理)Bernoulli 重点！ 设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>0，有 怡-<小- 证明：写引入X=若在第次这验中A发生k=l2,. 0, 若在第k次试验中A不发生， 则f4=X1+X2+.+Xn,E(X)=p,k=1,2,. 因为X1,X2,.,Xn相互独立的，且X服从同一(0-1)分布， 由辛大数定理.得eP信X+++小水 即 -e-

证明: 引入 0, , 1, , 1, 2, . k k A X k A k  =   = 若在第 次试验中 不发生 若在第 次试验中 发生 定理二（伯努利大数定理）Bernoulli (0 1) , 且Xk服从同一 − 分布 则 , , 0, A f n A p A   设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数 是事件 在每次试验中发生的概率 则对于任意正数 有 lim 1. A n f P p n  →      −  =   1 2 , A n f X X X = + + + 1 2 , , , 因为 X X Xn相互独立的， 即 A P f p n ⎯⎯→ ( ) , 1,2, E X p k k = = 由辛钦大数定理，得 1 2 1 lim ( ) 1, n n P X X X p n  →      + + + −  =   lim 1. A n f P p n  →      −  =   即 重点！

说明： (I)伯努利大数定理表明：当重复试验次数充分大时， 事件A发生的频率能够依概率收敛于事件A的概率p.此定理 以严格的数学形式表达了频率的稳定性。 (2)在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件的频 率来代替事件的概率

. 1 . n A A p （ ）伯努利大数定理表明： 频率能够依概率收敛于事件 的概率 当重复试验次数 充分大时， 事件 发生的 此定理 以严格的数学形式表达了频率的稳定性 (2) 在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件的频 率来代替事件的概率。 说明：

内容小结 大数定理 契比雪夫定理的特殊情况 辛钦定理 x=1∑X k=1 伯努利大数定理 →卫 频率的稳定性是概率定义的客观基础，而伯努利大数定 理以严密的数学形式论证了频率的稳定性， 大数定律给出了：以算术平均值代替均值、以频率代替 概率、以样本推断总体的理论基础

内容小结 大数定理    ——契比雪夫定理的特殊情况 伯努利大数定理 辛钦定理 频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定 理以严密的数学形式论证了频率的稳定性. 大数定律给出了：以算术平均值代替均值、以频率代替 概率、以样本推断总体的理论基础。 1 1 n P k k X X n  = = ⎯⎯→  A P f p n ⎯⎯→