山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 矩阵的运算 3-2 逆矩阵

⑤少东理大军 第二节逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 上页 下页 返回

第二节 逆 矩 阵 • 一、概念的引入 • 二、逆矩阵的概念和性质 • 三、逆矩阵的求法

©少东罪工大军 概念的引入 在数的运算中，当数≠0时，有 a0=a1a=1, 其中a'-1为a的倒数，（或称a的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中 的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵4， 使得 AA=AA-E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、概念的引入 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得

⑤少东承上大军 二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B ,使得 AB=BA=E, 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A1, 剑设4-0》（好1 AB=BA=E,B是A的一个逆矩阵 回

二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1       −  =      − A = B  AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵

@山本开子大￥ 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，即 B=C=A

说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A

三、逆矩阵的求法 ⑤少东承工大军 1、利用待定系数法 例 求A的逆阵， 解 是A的逆矩阵 则 8-(-09) -24-6 返回

例 设 , 1 0 2 1       − A = 求A的逆阵. 解 设  是 的逆矩阵,      = c d a b B A 则             − = c d a b AB 1 0 2 1       = 0 1 1 0        =      − − + +  0 1 2 2 1 0 a b a c b d 1、利用待定系数法 三、逆矩阵的求法

©少东罪工大军 2a+c=1, a=0, 2b+d=0, b=-1, → -a=0, → c=1, -b=1, d=2. 又因为 AB BA 02020-0 所以 r=0 上页

       − = − = + = + =  1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c        = = = − =  2. 1, 1, 0, d c b a 又因为       − 1 0 2 1       − 1 2 0 1       − 1 0 2 1 =       − 1 2 0 1 , 0 1 1 0       = 所以 . 1 2 0 1 1       − = − A AB BA

©卢东承工大军 2、利用公式 a 12 伴随矩阵：设A 21 a22 a2n an an2 ann A 4 An 则，A= A2 A如 An2 是A的伴随矩阵。 An A2n 其中A是，的代数余子式。 回

2、利用公式 伴随矩阵: 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A        =       则, 是A的伴随矩阵。 其中Aij是 aij 的代数余子式

©少本用2大军 定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0，且 其中A*为矩阵A的伴随矩阵 证明必要性若A可逆，即有A使AA=E. 故AA=E=1,所以A≠0. 上页

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1  = A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1  = = − 故 A A E 所以A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.  必要性

充分性 ⑤P东承上大军 当A≠0时， 41A11+4242+.+4mAn=A nnnn 上页 区回

当A  0时,                             =  n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A ,   A   =         O O  充分性 A 21 21 22 22 2 2 n n a A a A a A A + + + = A a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A

©少东罪工大军 AM=AA=AE÷AA 4=E, A 按逆矩阵的定义得 证毕 A 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时，A称为奇异矩阵当A≠0时，A称为 非奇异矩阵 由此可得4是可逆阵的充要条件是4为非奇异矩阵 王

AA = A A = AE   A E, A A A A  A = =   . 1 A A A  − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A  时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵