《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）4.3 协方差及相关系数

第三节协方差及相关系数 一、协方差的定义和性质 二、相关系数的定义和性质

一、协方差的定义和性质 二、相关系数的定义和性质 第三节 协方差及相关系数

一、协方差的定义和性质 1.问题的提出 D(X+Y)=D(X)+DY)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =D(X)+D(Y)+2{E(XY)-E(X)E(Y)} 若随机变量X与Y相互独立，则ELX-E(X)][Y-E(Y)]}=0. 若EX-E(X)][Y-E()小≠0，则X与Y不独立，而 是存在一定关系的

一、协方差的定义和性质 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则E X E X Y E Y  − − = ( ) ( ) 0   . 若E X E X Y E Y  − −  ( ) ( ) 0   ，则 X 与 Y 不独立，而 是存在一定关系的。 1. 问题的提出 D X Y ( ) + = + D X D Y ( ) ( )+ − − 2 ( ) ( ) E X E X Y E Y    = + D X D Y ( ) ( ) + − 2 ( ) ( ) ( ) E XY E X E Y 

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)IIY-E(Y) 2.定义量E{[X-E(X)[Y-E(Y)}称为随机变量X与 Y的协方差，记为Cov(X,Y), Covariance Cov(X,Y)=E[X-E(X)]Y-E(Y)] 计算公式：Cov(x,Y)-E(Xy)-E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(XY) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X) 3.性质 (1)Cov(ax,bY)=abCov(X,Y) (2)Cov(X:+X2,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X2,Y)

D( ) D( ) D( ) 2Cov( ) X +Y X Y X,Y = + + Cov X,Y Cov Y, X Cov X, X D X ( ) = = ( )， ( ) ( ) 3. 性质 2. 定义 量E X E X Y E Y {[ ( )][ ( )]} − − 称为随机变量 X 与 Y 的协方差，记为Cov( , ) X Y ， D X Y ( ) + = + D X D Y ( ) ( ) + − − 2 [ ( )][ ( )] E X E X Y E Y   Covariance 即 Cov( , ) ( ) ( ) X Y E X E X Y E Y = − −    计算公式： Cov , ( X Y E XY E X E Y ) = − ( ) ( ) （1 Cov , Cov , ） (aX bY ab X Y ) = ( ) (2) Cov , Cov , Cov , ( X X Y X Y X Y 1 2 1 2 + = + ) ( ) ( )

二、相关系数的定义和性质 1.定义量 Cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的相关系数， VD(X)·VDY) 记作Px, 即 Cov(X,Y) Pw-√DXDY) →Cov(X,Y)=PrVD(X)VD(Y）

二、相关系数的定义和性质 Cov( , ) ( ) ( )  =  X Y D X D Y  XY 即 Cov( , ) ( ) ( ) XY X Y ρ D X D Y =  Cov( , ) 1. ( ) ( ) X Y X Y D X D Y  定义 量 称为随机变量 与 的相关系数， XY 记作ρ

2。相关系数的两条性质及含义： 以线性函数α+bX近似表示Y,衡量近似程度 用均方误差：e=E[y-(u+bX]}的大小衡量. 问题：求，b,使e达到最小. e=E[Y-(a+bX)J] =E(Y2)+B2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y), ae=2a+2bE(X)-2EY)=0, 令 B e=2bE(x')-2E(XY)+2E(X)=0 La 好将&-Em-B0袋，4-“0” D(X)

2 2 2 2 = + + − + − E Y b E X a bE XY abE X aE Y ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ), 2 2 2 ( ) 2 ( ) 0, 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0. e a bE X E Y a e bE X E XY aE X b   = + − =     = − + =   令 解得 0 Cov( , ) . ( ) X Y b D X 0 = Cov( , ) ( ) ( ) ( ) X Y a E Y E X D X = − ，    2 e E Y a bX = − + ( ) 以线性函数 a bX Y + 近似表示 ，衡量近似程度.    2 ——用均方误差： e E Y a bX = − + ( ) 的大小衡量. 2. 相关系数的两条性质及含义： 问题：求a b e , ，使 达到最小

将他们代入e=E[r-u+b)},可得 min E [Y-(a+X) =E{y-(a,+b,X]}=(I-P2)DY(参见P107注) 即minE{-a+b}=E-a,+6X}=(-p.）D 定理：1°p≤1. 2°pxw=1的充要条件是存在常数a,b使 PY=a+bX=1

（参见P107注） 定理： 0 1 1.  XY  2 1 0  XY = 的充要条件是存在常数a b, 使 P Y a bX  = + = 1    2 , min ( ) a b E Y a bX − + 2 (1 ) ( ). = = −  XY D Y      ( ) 2 2 2 0 0 , min ( ) ( ) 1 ( ). XY a b E Y a bX E Y a b X D Y − + = − + = −    即      2 将他们代入 e E Y a bX = − + ( ) ，可得   2 0 0 = − + E Y a b X   ( )  

min EI(Y-(a+bx))=(1-p)D(Y). 说明：()Pxw越大，均方误差e越小，表明X与Y的线性关系 越紧密.当P=1时，表明X与Y以概率为1存在某种线性关系； (2)P越小，均方误差e越大，表明X与Y的线性关系越差； 当Pxr=0时，称X与Y不相关. 相互独立不相关 (3)X与Y不相关是就线性关系而言，相互独立是就一般关系而言 (④)不相关的充要条件X,Y不相关台Pxw=0: →Co(X,Y)=0 →E(XY)=E(X)E(Y)

相互独立 不相关 (4) 不相关的充要条件 , 0; X Y 不相关  =  XY  = Cov( , ) 0 X Y  = E XY E X E Y ( ) ( ) ( ) 2 (1 ) ( ). = −  xy D Y 2 , min [( ( )) ] a b E Y a bX − + 说明： 1 XY （ ） 越大，均方误差e X Y 越小，表明 与 的线性关系 越紧密. 1 1 当  XY = 时，表明X Y 与 以概率为 存在某种线性关系； 2 XY （ ） 越小，均方误差e X Y 越大，表明 与 的线性关系越差； 0 . 当  XY = 时，称X Y 与 不相关 (3) X Y 与 不相关是就线性关系而言，相互独立是就一般关系而言

例1设X与Y的分布律为 X-2-1 12P{Y=j} 01/4 1/40 1/2 4 1/4001/4 1/2 P(X-i 1/41/41/41/4 判断XY独立性，相关性， 解：易知，E(X)=0,E(Y)= ),E(XW)=0, 故Cov(X,Y)=0,Pw=0,所以，X与Y不相关。 又P{x=-2Y-=0,P(X=-2P(Y==8 则X与Y也不相互独立。 事实上，=水

例 1 设 X 与 Y 的分布律为 Y X -2 -1 1 2 P{Y=j} 1 4 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0 1/4 1/2 1/2 P{X=i} 1/4 1/4 1/4 1/4 0,  XY = 事实上，Y=X2 判断X、Y 独立性，相关性. 解： 又 P X Y  = − = = 2, 1 0,      1 2 1 8 P X P Y = −  = = 易知，E X( ) 0, = 故 Cov( , ) 0, X Y = 5 ( ) , 2 E Y = E XY ( ) 0, = 所以，X与Y不相关。 则X与Y也不相互独立

例2.设(X,)服从二维正态分布，概率密度函数为 fx) 1 2元s,01-p a-g,“ 0102 求X与Y的相关系数. 提示：Cov(X,Y)=EXY)-E(X)E(Y)=POO2 X-(4,),卫-(4，) Cov(X,Y) →xJD(X)D ==P

提示： ( ) ( ) 2 2 X μ1 1 2 2 ，σ ，Y μ ，σ Cov( , ) ( ) ( ) ( ) X Y E XY E X E Y = − Cov( , ) ( ) ( ) . XY X Y D X D Y  =  =  =   1 2 例2. 设（X,Y）服从二维正态分布，概率密度函数为 求X与Y的相关系数. 2 1 2 1 ( , ) 2 1 f x y  σ σ ρ =  − 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )( ) ( ) exp 2 2(1 ) x μ x μ y μ y μ ρ ρ σ σ σ σ    − − − −  −   − +      −  

说明：(1)二维正态分布中的参数ρ表示两个随机 变量的相关系数。 (2)若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y 相互独立的充分必要条件是p=0。 即：对于二维正态变量（X,Y)来讲，X与Y 不相关与相互独立是等价的

（2）若（X，Y）服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是=0。 即 ：对于二维正态变量（X，Y）来讲，X 与 Y 不相关与相互独立是等价的。 说明：（1）二维正态分布中的参数表示两个随机 变量的相关系数