《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）8.2 正态总体均值的假设检验

第二节正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值的假设检验 二、两个总体均值差的假设检验

第二节 正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值的假设检验 二、两个总体均值差的假设检验

一、单个总体N(山，σ)均值的检验 1.σ为已知，关于的检验(Z检验) Ho:μ=h,H1:u≠h; 取Z=X-N0, ,拒绝域的形式为 oln 拒绝域：（双边检验）|z2a12； (单边检验) z≥。；（右边检验) z≤-？。·（左边检验)

0 0 P H H { } 当 为真拒绝 0 ~ (0,1), / X Z N n   − 取 = 2 1. , ( )   为已知 关于 的检验 Z检验 0 0 1 0 : , : ; H H     =  0 / 2 , / X P z n         − =  =     / 2 | | z z 拒绝域： （双边检验）   ； 2 一 、单个总体N( , )    均值 的检验 （单边检验） z z z z     −    . ；（右边检验） （左边检验） 拒绝域的形式为 0 / X k n   − 

2.σ为未知，关于u的检验(t检验) 设总体X~N(4,o),其中40未知，X1,Xn是来自总体 X的样本.给定显著性水平a. H。:μ=4，Hu≠4 1=-m-,拒绝城的形式为X-≥k S/√n SIn P客以为她=之tu-可-a, 拒绝域：（双边检验)t2ta2(n-1); (单边检验) t之ta(n-I;（右边检验) t≤-ta(n-1).（左边检验)

0 / X t S n −  = ~ ( 1), t n − 0 0 P H H { } 当 为真拒绝 2 2. , ( )   为未知 关于 的检验 t检验 0 0 1 0 H H : , :     =  拒绝域的形式为 0 / X k S n −   拒绝域： 0 0 2 t (n 1) , / H X P S n      − =  − =     / / 2 （双边检验） | | ( -1) t t n   ； 2 1 ~ ( , ) , , . . X N X Xn X      设总体 ，其中 ， 未知，  是来自总体 的样本 给定显著性水平 ( -1) ( -1) t t n t t n      −   右边检验） （单边检验） . 左边检验 ；（ ）

补例：设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随 机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准 差为15分，问在显著性水平=0.05下，是否可以认为这 次考试全体考生的平均成绩为70分？ 解：检验假设H。:4=%=70,H1:u≠4=70. 拒绝域为= ≥tgn-1)=2.0301, 计算得 n- 66.5-70 =1.4<2.0301, 不在拒绝 15/√36 域内 故接受原假设，即可以认为考生平均成绩为70分

66.5 70 15 / 36 − = = 1.4  2.0301, = 2.0301, / X t S n −  = 补例：设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随 机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准 差为 15 分，问在显著性水平 α=0.05 下，是否可以认为这 次考试全体考生的平均成绩为 70 分? 解：检验假设 0 0 1 0 H H : 70 : 70.     = =  = ， 拒绝域为 2 0 ( -1) / X t t n S n  −  =  计算得 故接受原假设，即可以认为考生平均成绩为70分. 不在拒绝 域内

例1某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布 N(山，o2),4,σ2均为未知。现测得16只元件的寿命如下： 159280101212224379179264 反=241.5 222362168250149260485170 5=98.7259. 问是否有理由认为（厂家说法)元件的平均寿命大于225（小时）？ 取a=0.05。 X一 解：检验假设H。:4≤h=225,H1:μ>225 拒绝域为 治 ≥ta(n-1)-tns(l5) =1.7531, 不在拒绝 因n=16,x=241.5,S=98.7259. 域内 t=x-4 =0.6685<1.7531,故接受H s/√an 即不能认为元件的平均寿命大于225小时

例1 某种电子元件的寿命 X(以小时计)服从正态分布 2 N( , ),   2  , 均为未知。现测得 16 只元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为（厂家说法）元件的平均寿命大于 225(小时)? 取 = 0.05。 t n( 1)  −  = 1.7531, 0 / x t s n −  = = 0.6685  1.7531, 故接受H0 . 解： 检验假设 0 0 1 H H : 225, : 225     =  拒绝域为 0 / X t S n −  = 因n = 16, x = 241.5, s=98.7259. 即不能认为元件的平均寿命大于225小时. 241.5 98.7259. x s = = 0 / X t S n −  = 不在拒绝 域内 0.05 = t (15)

解二：检验假设H。:u≥h=225,H1:μ-1.7531,不在拒绝域内，故接受H sI/n 即可以认为元件的平均寿命大于225小时. 由此例可见：对问题的提法不同（把哪个假设作为原假设）， 假设检验的结果也会不同， 上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论 第一种假设是不轻易相信厂方的结论；— 消费者立场 第二种假设是不轻易否定厂方的结论. 厂家立场

t n( 1)  − −  = −1.7531, 0 / x t s n −  = = 0.6685  −1.7531, 不在拒绝域内，故接受H0 . 解二：检验假设 0 0 1 H H : 225, : 225     =  拒绝域为 0 / X t S n −  = 因n = 16, x = 241.5, s=98.7259. 由此例可见：对问题的提法不同(把哪个假设作为原假设), 假设检验的结果也会不同. 上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论. 第一种假设是不轻易相信厂方的结论； 第二种假设是不轻易否定厂方的结论. 即可以认为元件的平均寿命大于225小时. ——消费者立场 ——厂家立场

对单边假设检验而言，将哪个假设作为原假设可能会引起检 验结果的不同，根本原因在于；样本容量不够大 若样本容量足够大，则不论把哪个假设作为原假设所得 检验结果应该是一样的.否则假设检验便无意义了！ 1一般情况下，可根据样本信息选择适当的单边检验，若样本信· 息显示待检验的指标偏大(：>山或s2>σ)，则要用右边检1 1验，否则用左边检验

对单边假设检验而言，将哪个假设作为原假设可能会引起检 验结果的不同，根本原因在于；样本容量不够大． 若样本容量足够大，则不论把哪个假设作为原假设所得 检验结果应该是一样的．否则假设检验便无意义了！ 一般情况下，可根据样本信息选择适当的单边检验，若样本信 息显示待检验的指标偏大 ，则要用右边检 验，否则用左边检验. 2 2 0 0 ( ) x s     或

附表P189 正态总体均值的检验法见下表（显著性水平为α) 原假设H。 检验统计量 备择假设H 拒绝域 4=4(o已知) Z=-4 4≠% 2≥za2 μ≤4 4>4 美 L2Za 4≥% o/√n μ4 2ta2(n-1) 值 4≤A 1=-么 S/√n 46 4-4≥6 z≥a 4-4=6 + “-八6 t≥t(n1+n2-2) 4-5=8 u-4<δ t≤-t(n1+2-2) d=o=o2未知) S2=4-1S+h2-2)S L-%≠6 1t|≥ta2(n1+n2-1) 八+乃2-2

1 2 1 2 1 2 222 1 2 ( )           −  −  − = = = 未知 0 0 0          −  −  −  1 2 1 2 /2 1 2 ( 2) ( 2) | | ( 1) t t n n t t n n t t n n     + −  − + −  + − 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 ( 1) ( 2) 2 w w X Y t S n n n S n S S n n − −  = + − + − = + − 原假设H0 检验统计量 备择假设H1 拒绝域 2 0 0 0   ( )     =   已知 2 0 0 0   ( )     =   未知 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( , )            −  −  − = 已知 0 / X Z n   − = 0 / X t S n −  = 2 2 1 2 1 2 X Y Z n n    − − = + 0 0 0          0 0 0          0 0 0          −  −  −  /2 z z z z z z       − /2 ( 1) ( 1) ( 1) t t n t t n t t n     −  −  − −/2 z z z z z z      −  附表 P189 正态总体均值的检验法见下表（显著性水平为） 单 个 总 体 两 个 总 体 均 值 的 检 验

内容小结 一、单个总体的情况 1.σ为已知，关于u的检验(Z检验) Ho:u=h,H1:u≠h； 拒绝域：（双边检验)川z2za2； (单边检验) z≥。；（右边检验） z≤-z·（左边检验) 2.c为未知，关于的检验(t检验) Ho:4=h,H1u≠4 拒绝域：（双边检验） It2ta12(n-1); (单边检验) t≥ta(n-1);（右边检验) t≤-ta(n-1).（左边检验)

一、单个总体的情况 内容小结 2 1. , ( )   为已知 关于 的检验 Z检验 0 0 1 0 : , : ; H H     =  / 2 | | z z z z z z         −  ； ；（右边检 （双边检验） （单边 验） （左边 检 检验） 验） . 拒绝域： 2 2. , ( )   为未知 关于 的检验 t检验 0 0 1 0 H H : , :     =  拒绝域： / 2 | | ( -1) ( -1) ( -1) t t n t t n t t n          − （双边检验） 右边检验） （单边检验） .（左边检验 ； ；（ ）

作业P218 1,3

作 业 P218 1， 3