山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

©上本理工大至 第四节想阵的秩 1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 5.矩阵秩与行列式的关系 上页

1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 5.矩阵秩与行列式的关系

©山本理工大军 1.行秩、列秩、矩阵的秩 定义2.4.1：矩阵的行向量的秩， 就称为矩阵的行秩； 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 11 3 02-1 4 例如：矩阵A= 000 5 的行向量组是 000 0 c1=(1,1,3,1) 2=(0,2,-1,4) a3=(0,0,0,5) a4=(0,0,0,0) 上页 返回

1. 行秩、列秩、矩阵的秩 定义2.4.1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A     − =         的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0)     = = − = =

可以证明，Q1,C2,03是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由k1a1+k2a2+ka3=0 即k(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 可知k1=k2=k3=0,即C1,a2,3线性无关； 而4为零向量，包含零向量的向量组线性相关， .C1,02,C3,C4线性相关。 所以向量组Q1,02,03,C4的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3

可以证明， 1 2 3    , , 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k    + + = 0 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3    , , 线性无关； 而  4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 1 2 3 4     , 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4     , 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3

©山东理工大军 矩阵A的列向量组是 0 B= ,f2= 20 ,月3= 3-0 ,B= 0 1450 0 可以验证B,P2,B,线性无关， 而且A=2B-2A,+0B 所以向量组B,B2,B3,B4的一个极大无关组是B,B2,B 干所以向量组A,B,R,B的秩是3， 所以A的列秩

矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0                     − = = = =                                 可以验证 1 2 4    , , 线性无关， 而且 3 1 2 4 7 1 0 2 2     = − + 所以向量组 1 2 3 4     , 的一个极大无关组是 1 2 4    , , 所以向量组 1 2 3 4     , 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3

问题：矩阵的行秩矩阵的列秩 定理2.4.1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列) 1 证：把Amn按行向量表示，Amxon= (1)对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 (2) 用非零常数k乘以A的第行

问题：矩阵的行秩 ? ＝ 矩阵的列秩 定理2.4.1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 A m n 按行向量表示， 1 2 m n m A         =       （   1）对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行

©山东理工大军 .:. 4= a→ kaj =A2 显然，向量组1，.，kC,.,am 可以由向量组C1).,C,Cm 线性表示； 而向量组01).，C)“,Cm 也可以由向量组a1,.,kC,.,0m线性表示。 所以矩阵A的行向量组与A,的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， .A的行秩=A,的行秩，即A的行秩不变 上页 回

1 1 2 i kr i i m m A A k                   = ⎯⎯→ =                     显然，向量组 1 , , , , i m    k 可以由向量组 1 , , , ,    i m 线性表示； 而向量组 1 , , , ,    i m 也可以由向量组 1 , , , , i m    k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩，  A的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变

©夕东理工大军 (3)非零常数k乘以第行后加到第行上 a 显然，A,中的行向量组 可以由A的行向量组线性表示 a =A3 a;+ka; 而A的行向量组可以由 A中的行向量组线性表示。 m 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变

（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 j i i i r kr j j i m m A A k          +                     = ⎯⎯⎯→ =         +             显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变

④少本理工大军 工 定理2.4.2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关 系。 (列) (行) 举例说明 例1设矩阵 0 列向量组有线性关系44=41+242一43 矩阵A经过有限次初等行变换得到B,则矩阵B的列向 量A,P,B,B,间也有线性关系 B4=B1+2B2-B3 回

定理2.4.2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关 系。 （列） （行） 举例说明 例1 设矩阵           = − 6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A 列向量组有线性关系 a4 = a1 + 2a2 − a3 矩阵A经过有限次初等行变换得到B, 则矩阵B的列向 量 2 a 4 a 3 a a1 1 2 3 4     , , , 间也有线性关系  4 = 1 + 2 2 −  3

解：对矩阵A作初等变换如下 11 1 30 4= 30 02-1 10 2 -1 602 4 0 -6 -16 4 11 3 3+3 3 0 2 -1 0 -1 00 -19 0 0 1 -1 1 103） 1 0 3 020 4 0 0 2 001 -1 0 回

解:对矩阵A作初等变换如下           = − 6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A           − − − 0 6 16 4 0 2 1 5 1 1 3 0 r3 6r1 ～ − r3 3r2 ～ +           − − 0 0 19 19 0 2 1 5 1 1 3 0        − 19 1 3 r ～           − − 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 3 0 1 3 2 3 r 3r r ～ r − +           0 0 1 − 1 0 2 0 4 1 1 0 3 2 1 r2  ～           0 0 1 − 1 0 1 0 2 1 1 0 3

©少本理工大军 B B B: O 1 显然 B4=B1+2P2-B3 推论：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行) 上页 区回

r1 r2 ～ −           0 0 1 − 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1  2  3  4 显然  4 = 1 + 2 2 −  3 推论：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行）