《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第七章 参数估计 第一节 点估计

概率伦与散理统针」 第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法

第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法

概率论与敖理统外 一、点估计问题的提法 设总体X的分布函数形式已知，但它的 一个或多个参数为未知，借助于总体X的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题称为 点估计问题

一、点估计问题的提法 设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的 一个或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题称为 点估计问题

概率轮与数理统计「 例1在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的 次数X是一个随机变量，假设它服从以入>0为参 数的泊松分布，参数入为未知，设有以下的样本值， 试估计参数入. 着火次数k0123456 发生k次着 75905422621 ∑=250 火的天数ng

. , , , , 0 ,    试估计参数 数的泊松分布 参数 为未知 设有以下的样本值 次数 是一个随机变量 假设它服从以 为参 在某炸药制造厂 一天中发生着火现象的 X  例1 75 90 54 22 6 2 1 250 0 1 2 3 4 5 6   nk k k 火的天数 发生 次着 着火次数

概率论与敖理统计】 着火次数k 0123456 发生k次着 75905422621 Σ=250 火的天数ne 解 因为X~π(2)， 所以入=E(X). 用样本均值来估计总体的均值EX). ∑kn c=k 1 6 (0×75+1×90+2×54+3×22+ n 250 k=0 4×6+5×2+6×1)=1.22, 故E(X)=的估计为1.22

75 90 54 22 6 2 1 250 0 1 2 3 4 5 6   nk k k 火的天数 发生 次着 着火次数 解 因为 X ~ π(), 所以   E(X). 用样本均值来估计总体的均值 E(X).      6 0 6 0 k k k k n kn x 4 6 5 2 6 1) (0 75 1 90 2 54 3 22 250 1                1.22. 故 E(X)   的估计为1.22

概率论与数理统外 点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x;)的形式为已 知，日是待估参数.X1,X2,Xn是X的一个样 本，x1,x2,.,xn为相应的一个样本值. 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 (X1,X2,Xn),用它的观察值(x1,x2,.,xn) 来估计未知参数0. (X1,X2,Xm)称为0的估计量.)通称估计， (x,x2,x,)称为0的估计值.了简记为0

点估计问题的一般提法 , , , , . , . , , , ( ; ) 1 2 1 2 本 为相应的一个样本值 知 是待估参数 是 的一个样 设总体 的分布函数 的形式为已 n n x x x X X X X X F x     . ( , , , ) ˆ ( , , , ), ˆ 1 2 1 2    来估计未知参数 用它的观察值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 X X  Xn x x  xn ( , , , ) . ˆ  X1 X2  Xn 称 为 的估计量 ( , , , ) . ˆ  x1 x2  xn 称 为 的估计值 . ˆ , 简记为 通称估计   

概率论与散理统计 二、估计量的求法 1.矩估计法 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x0,02,.,0),或X为离散型随机变量， 其分布律为P{X=x}=p(x,0,02,.,0), 其中0,02，.，0为待估参数，X1,X2,.,Xm 为来自X的样本

1. 矩估计法 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( ; , , , ), , { } ( ; , , , ), , , , , , , , k k k n X f x X P X x p x X X X X            设 为连续型随机变量 其概率密度为 或 为离散型随机变量 其分布律为 其中 为待估参数 为来自 的样本 二、估计量的求法

F 概率纶与教理统针」 例2设总体X服从参数为入（未知）的泊松分布， X1,X2,X,是来自总体X的样本，试求入的 矩估计量。 例3设总体X服从参数为日（未知）的指数分布， X1,X2,Xn是来自总体X的样本，试求0的 矩估计量

例2 设总体 X 服从参数为 F  （未知）的泊松分布， , , , , X1 X2  Xn是来自总体 X的样本 试求  的 矩估计量。 设总体 X 服从参数为  , , , , X1 X2  Xn是来自总体 X的样本 试求  的 矩估计量。 例3 （未知）的指数分布

概率论与散理统计 例4设总体X在[a,b]上服从均匀分布，其中a, b未知，(X1,X2,.,Xn)是来自总体X的样本，求a, b的矩估计量， 4=E(X)=0+b 解 21 =E(X)=D(X)+IE(X)=(a-)@+b) 12

. , ( , , , ) , , [ , ] , , 1 2 的矩估计量 未知 是来自总体 的样本 求 设总体 在 上服从均匀分布 其中 bb X X X X a X a b a  n 解 ( ) 1  E X , 2 a  b  ( ) 2 2  E X     , 12 4 2 2 a b a  b    2  D(X) [E(X)] 例 4

概率论与散理统针」 解方程组得到4，b的矩估计量分别为 a=4-3445=x-2x,-奶 6=4+4=+2-对

解方程组得到a, b的矩估计量分别为 ˆ 3( ) 2 a  A1  A2  A1 ( ) , 3 1 2     n i Xi X n X 3( ) ˆ 2 b  A1  A2  A1 ( ) . 3 1 2     n i Xi X n X

概率轮与款理统针」 例5 设总体X的均值u和方差σ2都存在，且有 σ2>0，但u和o2均为未知，又设X1,X2,.,Xn是 一个样本，求山和o2的矩估计量. 解 41=E(X)=4, 42=EX2)=D(X)+[E(X)P=o2+W2, D=A=X, 分=4-4-2-=2x- ni= n i=1

, . 0, , , , , 2 1 2 2 2 2 一个样本 求 和 的矩估计量 但 和 均为未知 又设 是 设总体 的均值 和方差 都存在 且有       X X Xn X   解 ( ) 1  E X  , ( ) 2 2  E X , 2 2     2  D(X) [E(X)] ˆ ,   A1  X 2 2 1 2 ˆ  A  A    ni Xi X n 1 1 2 2 ( ) . 1 1 2    ni Xi X n 例5