《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第三章 多维随机变量及其分布 第四节 相互独立的随机变量

概率论与故理统外 第四节 相互被丘的随机变量

第四节 相互独立的随机变量

概率论与数理统外 1.定义 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y 有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤xP{Y≤y, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y       1.定义

概率论与敖理统计「 2.说明 ()离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=x,Y=yj}=p,i,j=1,2,. X和Y相互独立 P(X=xi,Y=y=P(X=x)P(Y=y, 即P=P.P

 { , } { } { } , i j i j P X  x Y  y  P X  x P Y  y X 和 Y 相互独立 2.说明 (1) 离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X  x ,Y  y }  p , i, j 1,2,  . i j i j pij pi p j 即  

概率论与数理统外「 例1已知(X,Y)的分布律为 2 3 T 1 1 6 -9 18 1 2 3 a B ()求与B应满足的条件； (2)若X与Y相互独立，求α与B的值

例1 已知 (X,Y )的分布律为 (2) , . (1) ; 若 与 相互独立 求 与 的值 求 与 应满足的条件     X Y 1 2 1 2 3 6 1 9 1 18 1 3 1   X Y

概率论与敖理统计「 1 2 3 Pi.P(X=x} 1 1 1 1 1 6 9 18 3 1 1 2 3 a B 2+a+B 3 卫=PW=y, 1-2 1 3+a+B (由分布律的性质知a≥0B≥0号+a+A=1 故a与应满足的条件是：a≥0，B≥0且a+B= 3

(1)由分布律的性质知   0,   0, 1, 3 2     . 3 1 故与应满足的条件是 :  0,   0 且    X Y 1 2 3 1 2 6 1 9 1 18 1 3 1   { } i i p  P X  x  3 1    3 1 { } j j p  P Y  y  2 1  9 1   18 1    3 2

概率论与散理统外「 (2)因为X与Y相互独立，所以有 P=p。·p9(i=1,2;j=1,2,3) 特别有 p=R→)ga小a号 又a+B=3得B=g

  , (  1,2;  1,2,3)   p p p i j ij i j 特别有 12 1 2 p  p  p          9 1 3 1 9 1 , 9 2    又 , 3 1     . 9 1 得   (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有

概率论与敖理统计 例2 设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 3 Y2 4 Px 0.3 0.7 B, 0.6 0.4 求随机变量(X,Y)的分布律

求随机变量 ( X, Y ) 的分布律. 例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4

概率轮与散理统针」 (2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),(y),则有 X和Y相互独立台(x,y)=fx(x)f(y)

 f ( x, y) f ( x) f ( y). X Y X 和 Y 相互独立  (2) ( , ) ( , ), ( ), ( ), X Y X Y f x y f x f y 设连续型随机变量 的联合概率密度为 边缘概率密度分别为 则有

概率论与敖理统计 例3一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时， 设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办 公室的时间相差不超过5分钟的概率 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到心心 达办公室的时间，由假设X和Y的概率密度分别为 fx(e)= m-买9 0,其它， 由于X,Y相互独立，得(X,Y)的概率密度为

例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 达办公室的时间, 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘书到 由假设 X 和Y的概率密度分别为       0, , 1 4, 8 12, ( ) 其它 x fX x       0, , 1 2, 7 9, ( ) 其它 x f y Y 由于 X,Y 相互独立, 得 (X,Y )的概率密度为

概率论与散理统外「 f(x,y)=fx(x)f(y) 1/8,8<x<12,7<y<9, 0, 其它. P{X-Y≤1/12 B =J∬fx,y)dxdy B 8×(G的面积). 8 12x

f (x, y) f (x) f ( y)  X Y         0, . 1 8, 8 12,7 9, 其它 x y P{ X Y  1 12}   G f (x, y)d xd y ( ). 8 1   G 的面积 O x y  8  12 7 9 A B B C C G