《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）高等数学1.3

第三节 第一章 温数的极限 对y=f(x),自变量变化过程的六种形式： (I)x®xO (4)x®￥ (2)x®x0 (⑤)x®+￥ 3)x®xo (6)x®￥ 本节内容： 一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 HIGH EDUCATION PRESS e 1ooR

第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限 第三节 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限

一、自变量趋于有限值时函数的极限 1.x®xo时函数极限的定义 定义1.设函数f(x)在点xo的某去心邻域内有定义， 若"e>0,$d>0,当00,$d>0,xl U(xo,d) x®x0 时，f(x)-A<e 几何解释： A+e y有 f(x) A A-e xo-d Xo xo +a HIGH EDUCATION PRESS 返回 结球

定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限 1. 时函数极限的定义

例1.证明limC=C(C为常数) x®xo 证： |f(x)-A=C-C=0 故"e>0,对任意的d>0,当0<x-xo<d时， 总有 C-C=0<e 因此 lim C=C x®Xo HIGH EDUCATION PRESS 动 自录 下方 返回 结束

例1. 证明 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.证明 lim(2x-1)=1 x®1 证：fx)-A=|(2x-1)-1=2x-1 "e>0,欲使f)-A<e,只要x-1<e2 取d=e2,则当0<x-1<d时，必有 f(x)-A=(2x-1)-1<e 因此 lim(2x-1)=1 x®1 HIGH EDUCATION PRESS 目录

例2. 证明 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.证明 x21=2 lim* x®1X-1 正e-A=-x*1-2=-1 故"e>0,取d=e,当0≤x-1≤d时，必有 x2-1 x2-1 因此 lim =2 x®1x-1 HIGH EDUCATION PRESS 动 自录 上页 下页 返回 结球

例3. 证明 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.证明：当x。>0时1im√x=√/x x®XO 证：A=xx+ x-X xo "e>0,欲使f(x)-A<e,只要|x-x<Vxe,且 x30.而x30可用x-xEx,保证.故取 d=mim{/xoe,o},则当0<x-,<d时，必有 -o<e 因此 limx=√xo x®xO HIGH EDUCATION PRESS

例4. 证明: 当 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.保号性定理（极限的唯一性与局部有界性略） 定理3.若1imf(x)=A,且A>0,则存在U(xo,d) x®xo (A0 (f(x)≤0) 证：已知limf(x)=A,即"e>0,$Uxo,d),当 x®Xo xiU(xo,d)时，有A-e≤f(x)0时，取正数e￡A, A+e (x) (≤0) (e￡-A) 则在对应的邻域U(xo,d)上 A-e f(x)>0 xo-d xoxo+d x (≤0 HIGH EDUCATION PRESS 回 结录

2. 保号性定理(极限的唯一性与局部有界性略) 定理3 . 若 且 A > 0 , 证: 已知 即 当 时, 有 当 A > 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 (< 0) 则存在 ( A < 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理3'若1mf(x)=A10,则存在U(xo,d),使当 x®xo iU(d)时、有/e)> 2 分析： A-e0: A+e 2 A-e 2 xo-d xoxo+d x HIGH EDUCATION PRESS 结

若取 则在对应的邻域 上 若 则存在 使当 时, 有 定理 3′ 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论：若在 x。的某去心邻域内f(x)30,且 (f(x)￡0) limf(x)=A,则A30. x®xO (A￡0) 证：用反证法.当f(x)30时，假设A0,是否必有A>0? 不能！ 如1imx2=0 x®O HIGH EDUCATION PRESS

推论: 若在 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A < 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.左极限与右极限 左极限：f(x)=limf(x)=A x®xO 三"e>0,$d>0,当xi(x。-d,x） 时，有f(x)-A0,$d>0,当xi(xo,xo+d） 时，有f(x)-A<e. 定理 lim f(x)=A lim,f(x)=lim f(x)=A x®XO x®xXo x®XO (P34题10,11 HIGH EDUCATION PRESS 九动

3. 左极限与右极限 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 . ( P34 题10,11 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束