《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）高等数学1.9

第九节 第一章 连续盈数的运算与 初等西数的连犊性 连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 结

一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章

一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例1，sinx,cosx连续 >tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增（递减函数的反函数也连续单调 递增（递减） (证明略) 例2，y=sinx在[号，号]上连续单调递增， 其反函数y=arcsinx在[一1,1]上也连续单调递增 HIGH EDUCATION PRESS 自 结

定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例1, 例2, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减 ) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如，y=ex在(-￥，+￥)上连续单调递增， 其反函数y=lnx在(0，+￥)上也连续单调递增 定理3.设函数y=f几g(x)]由函数W=g(x) 与函数y=f(u)复合而成，U(x,)iD·若 1img(x)=4。,而函数y=f()在u=4,连续 x®x0 则 lim f[g(x】=limf(u)=f(u。) xR XO 证：参考第五节定理6 HIGH EDUCATION PRESS

定理3. 设函数 证: 参考第五节定理6 则 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由函数 与函数 复合而成， 而函数 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如

定理4.连续函数的复合函数是连续的 证：设函数u=f(x)在点x。连续，且f(xo)=40 函数y=f(x)在点uo连续，即limf(u)=f(o) 于是 lim f(x)]=lim f(u)=f(uo)=f(o)] x®x0 故复合函数ff(x)]在点x。连续 HIGH EDUCATION PRESS 08 球

定理4. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4，y=sn是由连续函数链 y=sinu,uI(e￥，+￥）〉 xi R" 复合而成，因此y=sn二在xiR*上连续 HIGH EDUCATION PRESS

例4, 是由连续函数链 复合而成 因此 在 上连续 . , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如， y=1-x2的连续区间为[-1,1]（端点为单侧连续） y=:lnsinx的连续区间为(2np,(2n+I)p）,nIZ HIGH EDUCATION PRESS 结录

二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.求1im loga (1+x) x®0 x 解：原式=mlog1+x炉-lg2e= x®O In a a'-1 例6.求1im x®0X 解：令t=a'-1,则x=loga(+t), 原式=lim =lna t®0loga(1+t) HIGH EDUCATION PRESS 目录

例5. 求 解: 原式 例6. 求 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7.求 lim (1+x)°-1 ®0 X 解：令t=(1+x)°-1，则aln(1+x)=ln(1+), 原式=lim a In(1+x) lim 三d t®0 In(1+#) x®0 说明：当x®0时，有 In(1+x)~x ex-1~x 1+x)-1≈ax HIGH EDUCATION PRESS 动 自录 上页 卡下页 返回 结球

例7. 求 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8.求1im(1+2x)mx x®O 解： 原式=lime+2x) 3 x®O 32x lime x 6 x®0 说明：若limu(x)=0,limv(x)=￥，则有 x®xO x®x0 lim v(x)In1+u(x) lim [1+u(x)] er®xo lim v(x)u(x) =e x®x0 HIGH EDUCATION PRESS

例8. 求 解: 原式 说明: 若 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 初等函数在 定义区间内 连续函数的反函数连续 连续 连续函数的复合函数连续 说明：分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性 HIGH EDUCATION PRESS 目录 下 结球

内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束