《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）高等数学3.3

第三节 第三章 泰勃(Taylor)公式 理论分析 用多项式近似表示函数一应用 近似计算 一、 泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 等HIGH EDUCATION PRESS

二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章

一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式： f(x)》f(x)+fx)x-x) v=f(x P(x) x的一次多项式 特点：p(xo)=f(x) Xo x pA(xo)=fdxo) 以直代曲 如何提高精度？ 需要解决的问题 如何估计误差？ HIGH EDUCATION PRESS 结球

特点: 一、泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

求n次近似多项式Pn(x),要求 Pn(0)=fo),P(=0,L,p()=fm() 令 Pn(x)=ao+al(x-xo)+az(x-xo)2+L +an(x-xo) 则 p9(x)= a+2a2(x-x)+L +na,(x-xo)"-I p(x)= 21a2+L +n(n-D)a,(x-xo)"-2 LLLL P0(x)= nlan ao =Pn(xo)=f(xo), 41=p(x0)=f4xo) =Po尸克/).L,a=P(0)=fm(）》 故Pn(x=f(x)+∫xox-xo)+}fxox-xo》2+L +是/)(ox-0” HIGH EDUCATION PRESS

求 n 次近似多项式 要求 : 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 则

泰勒中值定理1： 若f(x)在x,处有阶导数 那么存在x。的一个邻域，当X属于该邻域时，有 四=fG+f,X-）+/o2x-P+L 2 +Coc-x”+Rx) n! 其中R(x)=o《（x-x)) 公式①称为带佩亚诺Peano)余项的n阶泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 结

泰勒中值定理1 : 那么存在 属于该邻域时, 有 其中 的一个邻域，当 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 ① 公式 ① 称为带佩亚诺(Peano) 余项的n 阶泰勒公式

证：记Rn(x)=f(x)-Pn(x),则有 R,(xo)=R(xo)=L =Rc(o)=0 由洛法则必达 lim R,(x) 国6(x-x” R.(x) Rx) lim- lim ®6n(x-x,)” @6n(n-10(x-x,)- -1 lim 2=im ()-R-() nlx®w(x-x) nlx®xo (x-x) 1R以x)=o(x-x)” HIGH EDUCATION PRESS 回

证： 记 , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由洛法则必达

泰勒中值定理2： 若f(x)在x,的某邻域V(x。)内具有 直到n+1阶的导数则当xiV(x)时，有 四=)+jx-)+/w6x-P+1 21 +(2x-x)+R(x) ② n f(n+1) 其中R(x)三 (x-)m1 ③ (n+1) (x在x0与x之间 公式②称为f(x)的n阶泰勒公式 公式③称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

公式 ② 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ③称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 2: 阶的导数 , 时, 有 其中 ② 则当 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 ③

证：记Rnx)=f(x)-Pn(x)，则有 Rn(x)=Rg()=L=R”(x)=0 R,(x) Rn(x)-Rn(xo） (x-xo) (-o)1-0 Rgc） (x1在x与x之间) (n+1)c1-x)” Rs(x)-Re(xo) Rgx2) (c2在x0与 (n+1)G1-x)0(n+1)nc2-x)r x1之间 R)-R(xo) (x在x与x之间 (n+1)L2cm-xo)-0 (n+1) HIGH EDUCATION PRESS

证：记 , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

R (x)=f(x)-p (x) R,(x) R) (r-)阿 (x在x0与x之间 (n+1)J Qp()=0.\R()=(x R,(x)= faDe) (n+1)1 x)1区在x与x之间) 当在x,的某邻域内fD(x)EM时 R) M HIGH EDUCATION PRESS -m

机动 目录 上页 下页 返回 结束

/田=f)+f,Xx-)+o(x-2+1 21 (n+1) 特例： (化在x0与x之间 (1)当n=0时，泰勒公式给出拉格朗日中值定理 .f(x)=f(xo)+fdx)(x-xo) (c在x与x之间 (2)当n=1时，泰勒公式变为 f=)++- 可见f(x)》f(,)+fx)(x-x) 2x在)与x之间 误差 R(x)= （(x-x)(在x与x之间 df 21 HIGH EDUCATION PRESS 结录

特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在泰勒公式中若取x。=0,x=qx(0<q<1),则有 fw=j0)+/0r+/0x+L+/O 21 n (q x) ,n+1 (n+1) 称为麦克劳林(Maclaurin)公式. 由此得近似公式 f)f0)+0+f0x+L+(0x 21 n 若在公式成立的区间上/》(x) ￡M,则有误差估计式 M R,(x)f (n+1月 HIGH EDUCATION PRESS 麦克劳林目录 返回 结

称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 在泰勒公式中若取 则有 若在公式成立的区间上 则有误差估计式 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式