《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学7.5 可降阶高阶微分方程

第五节 第七章 可降阶高阶微分方程 一、y0=f(x)型的微分方程 二、y”=f(x,y)型的微分方程 三、y”=f(y,y)型的微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第七章

一、y)=fx)型的微分方程 令z=y-》,则=ym=f),因此 dx z=∫f(x)dx+C 即 yn-D=∫fx)dr+C 同理可得 y2)=[[ff(x)dx+Ci ]dx+C2 [[ff()dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 HIGH EDUCATION PRESS e0C8 机动目录上页下页返回结束

一、 ( ) ( ) y f x n = 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z =  f (x) x +C 即 同理可得   2 ( 2) y dx C n = +  −  dx  = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求解y”=e2x-cosx. 解：y=j(e2-cosx)dx+C x+C =e2*+cosx+Cx+C2 y= ge2+sinx+Gx+Cx+C (此处G=G) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x dx C x  = − +   1 2 sin 2 1 e x C x = − +  x y e 2 4 1  = x y e 2 8 1 = + sin x 2 1 +C x 2 C3 +C x + + cos x 1 C2 +C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动，设力F仅是时间1的函数：F=F().在开始时刻 1=0时F(O)=Fo,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到t=T时FT=0.如果开始时质点在原点，且 初速度为0，求质点的运动规律 解：据题意有 dx =0=0 dt t=0=0 对方程两边积分，得 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t F o T F0 F = (1 ) 0 T t m F = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

dt 7)+C 2 利用初始条件 -0=0得G1=0,于是 dx dt m 两边再积分得x= 6T +C 再利用x=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 r- HIGH EDUCATION PRESS 录上页下页返回结束

1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、y”=f(x,y）型的微分方程 设y'=p(x),则y”=p',原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=P(x,C1) 则得 y'=0(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=[p(x,Ci)dx+C2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y  = f (x, y ) 型的微分方程 设 y  = p(x) , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y  = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y =   (x,C ) x +C 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求解 [(1+x2)y”=2xy yx0=1,yx=0=3 解：设y'=p(x),则y”=p,代入方程得 (1+x2)p=2xp 分离变量 t dp 2xdx p (1+x2 积分得lnp=ln(1+x2)+lnC,即p=C1(1+x2) 利用yx=0=3,得C=3,于是有y=3(1+x2) 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=o=1,得C2=1,因此所求特解为 y=x3+3x+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 是上页下页返回结束

例3. 求解 (1+ x )y  = 2xy  2 1, y x =0 = 3 y  x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2xp 2 +  = 分离变量 积分得 ln ln(1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y  x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y  = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3x +C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设有一均匀，柔软的绳索，两端固定，绳索仅受 重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？ 解：取坐标系如图.考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情况 A点受水平张力五 M点受切向张力T 弧段重力大小Pgs(P:密度，s:弧长 pgs 按静力平衡条件，有Tcos0=H,Tsin0=Pgs 两式相除得 tan =-s (其中a=是) 故有 y=V1+y2dx→y=1+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 (  : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M  gs o y x ( ) g H a  其中 = y  y x x 1 d 0 2  +  a 1 故有 = 2 1 1 y a y  = +  设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A 机动 目录 上页 下页 返回 结束

设OA=a,则得定解问题 jy-avi+y 悬链线 yx=0=a,yx=0=0 令y=p(x),则y”=d卫， 原方程化为 pgs dx dp =二d V1+p2 Arshp=In(p+1+p2) 两端积分得Arsh p=言+C1,由y'1x=0=0得C=0, 则有 y'=sh 两端积分得y=ach。+C2,由yx=0=a,得C2=0 放所求绳索的形状为)-ash兰(e+e) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

M  gs o y x H A 1 2 y 1 y a  = +  设 OA = a, 则得定解问题: 令 y  = p(x), , d d x p 则 y  = 原方程化为 两端积分得 Arsh ln( 1 ) 2 p = p + + p Arsh , p a C1 x = + 0, 得C1 = 则有 两端积分得 得C2 = 0 故所求绳索的形状为 a x y = a ch ( ) 2 a x a x e e a − = + 悬 链 线 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、y”=f(y,y')型的微分方程 令y=p(,则y”=p=2y=p dx dy dx 故方程化为 2=f0,p) 设其通解为p=p(y,C),即得 y'=p(y,C1) 分离变量后积分，得原方程的通解 dy =x+C2 p(y,C) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、 y  = f (y, y ) 型的微分方程 令 y  = p( y), x p y d d 则  = x y y p d d d d =  故方程化为 设其通解为 ( , ), C1 p= y 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束