《高等数学》课程教学资源（章节练习）第五章练习题

第五章练习题 练习一 一、放射性物体的分解速度为v=),用定积分表示放射性物体由时间T到T,所分解的质量 m= 二、由定积分的几何意义，填写下列定积分的值。 1.∫x+0d=_ 2.∫-x2= 。 3.∫”sin xdx=_ 4.∫-x2k= 三、由定积分的定义计算∫x 因食-{六经月业是国数活西取自能0的机有随义 求∫f(x)d的值

81 第五章 练习题 练习一 一、放射性物体的分解速度为 v = v(t) ,用定积分表示放射性物体由时间 T1 到 T2 所分解的质量 m= . 二、由定积分的几何意义，填写下列定积分的值。 1.  + = 1 0 (x 1)dx ， 2.  − = 1 0 2 1 x dx 。 3.  − = n n sin xdx ， 4. − − = 1 1 2 1 x dx 。 三、由定积分的定义计算  2 0 2 x dx 四、设 1 2, 0 1, 1, , ( )        − = x x x x f x 问 f (x) 在[0，2]上是否可积？若可积，由定积分的几何意义， 求  2 0 f (x)dx 的值

练习二 一、填空题 1.fx)在[a,b上连续，且∫f(x)=0,则fx)+1=_ 2.∫x2hxk的值的符号为 二、比较下列各组两个积分的大小（填不等号） 1.∫x2dk ∫x'dk 2∫nxd—jhxk、 3.∫e'dk∫+x)dt 4∫。r—∫n1+x 三、估计积分∫e产-女的值 因求到车 五、设)在0，上连续，在(0,1)内可导，且3fx)d=f0),试证在(0,1)内 存在一点c,使得了(c)=0 六、设fx)在a,b上连续(a≠b),若∫心fx)d=0,试证在a,b上至少有一点c,使得 f(c)=0 6

82 练习二 一、填空题 1. f (x) 在[a,b]上连续，且  = b a f (x)dx 0 ， 则 + =  b a [ f (x) 1]dx 2.  1 0.1 2 x ln xdx 的值的符号为 二、比较下列各组两个积分的大小（填不等号） 1.  1 0 2 x dx  1 0 3 x dx 2.  4 3 ln xdx  4 3 2 (ln x) dx 、 3.  1 0 e dx x  + 1 0 (1 x)dx 4.  1 0 xdx  + 1 0 ln(1 x)dx 三、估计积分  − 0 2 2 e dx x x 的值 四、求证：   +  4 1 1 2 2 1 x dx 五、设 f (x) 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且  = 1 3 3 2 f (x)dx f (0) ，试证在（0，1）内 存在一点 c ,使得 f '(c) = 0 六、设 f (x) 在[a , b]上连续（a≠b）,若  = b a f (x)dx 0 ，试证在[a , b]上至少有一点 c，使得 f (c) = 0

练习三 一、填空题 1云+ah- 20+ 3”m仙 4孟sm=- s)在a的止可积，则广e达 6fx)连续，且0h=x,则f)-_ 7.fx)连续，且fx)=x+2f)d,则fx)=_ &面酸P到-e-方>0，期FR倒的单减区同为 三-产来四 三、计算定积分 13+3r+h x2+1 2 4.∫(an20+1d0

83 练习三 一、填空题 1. t dt dx d x  + 0 2 3 (1 ) = 2. t dt dx d x 3 4 0 2 (1 )  + = 3. t tdt dx d x sin 0  = 4. =  x tdt dx d x sin 0 5. f (x) 在[a , b]上可积，则  = b a f x dx dx d ( ) 6. f (x) 连续，且  − = 1 0 3 ( ) x f t dt x ，则 f (7) = 7. f (x) 连续，且  = + 1 0 f (x) x 2 f (t)dt ，则 f (x) = 8. 函数  = −  x dt x t F x 1 ) ( 0) 1 ( ) (2 ，则 F(x) 的单减区间为 二、若  + = 3 2 4 1 ( ) x x t dt F x ，求 dF(x) . 三、计算定积分 1. − + 0 + + 1 2 4 2 1 3 3 1 dx x x x 2.  + 3 0 2 2 x a dx 3.  − 1 0 2 4 x dx 4.  + 4 0 2 (tan 1)   d

x+l,x≤1 5.∫kmx-csh 6.设fx)= >求 1为人 四、求极限 [(arctant)'dt 2m+1 五，侧-nx05s元，求F网=广0财在+网内的表达式 0,xπ 六设>0且每.上造续令=70h+岛来运：0F22 (2)方程F(x)=0在(ab)内有且仅有一个实根

84 5.  − 2 0 sin cos  x x dx 6. 设 , , 1 2 1, 1 ( ) 2      +  = x x x x f x 求  2 0 f (x)dx 四、求极限 1.   → x x x dt t t t dt 0 0 2 0 sin cos lim 2. 1 (arctan ) lim 2 0 2 +  → x t dt x x 五、 , 0 0 sin ,0 2 1 ( )         =   x x x x f x ， 或 求 F x f t dt x ( ) ( ) 0 = 在 (−,+) 内的表达式 六、设 f (x)  0 且在[a , b]上连续，令   = + x a x b f t dt F x f t dt ( ) ( ) ( ) ，求证：（1） F(x)  2 ； （2）方程 F(x) = 0 在（a,b）内有且仅有一个实根

练习四 一、填空题 1.isnx+d- 2+2- 3.∫后cos2 sn xd= 4.∫x4 sin xdx= 5、连续，a=b为常数，则层7+h-一 二、计算下列定积分 15 2了+西 dx 小* s.ted 6广 7J值cs2xd 8.+cos2xd

85 练习四 一、填空题 1.  +    3 ) 3 sin( x dx = 2.  + 4 1 ) 2 1 ( dx x x = 3. =  cos xsin xdx 3 2 0  4.  − =   x sin xdx 4 5、   + b a f x t dt dx d f (u)连续，a b为常数，则 ( ) = 二、计算下列定积分 1. − − 1 1 5 4 dx x  2. (1 ) 4 1 x x dx +  3.  + − 1 0 2 1 1 x dx 4.  + 3 1 2 2 x 1 x dx 5. te dt t 2 1 0 2 −  6. x x e dx 1 ln 2 1 +  7. − 2 2 cos cos 2   x xdx 8.  +  0 1 cos 2xdx

9∫smx-sn3xd 10.J9c+42-x 三o-儿20*广e-2 四、fx)在a,b上连续，证明：∫fx)=∫f(a+b-x)d 玉岛高e>0 六、fx)是以L为周期的连续函数，证明fx)女的值与无关

86 9. x xdx  −  0 3 sin sin 10. − + − 2 2 2 (x 4) 2 x dx 三、设 , , 0 1 , 0 ( ) 2     +  = − e x x x f x x 求  − 4 1 f (x 2)dx 四、   = + − b a b f (x) [a, b] : f (x)dx f (a b x)dx a 在 上连续，证明 五、证明：    + = + 1 1 1 2 2 ,( 0). 1 1 x x x x dx x dx 六、 f x 是以 为周期的连续函数 证明 f x dx的值与a无关 a L  a + ( ) L , ( )

练习五 一、填写出下列积分中“，的设法 1、xe2产在则设u dv=_ 2、∫xog:xk则设u= dv=_ 3、月1sn1dt,则设u= d小= 二、填空题 1.已知f0)=1f2)=3,f(2)=3,"(x)连续，则x"(x)dk=_ 2.∫sn'2xk= 36sm5= 三、计算下列各题 1.j(x+xsnx本 2.fxeds 4.∫xarctanxdx 5.血 6.[e*cosxdx

87 练习五 一、填写出下列积分中 u , dv 的设法 1、  1 0 2 xe dx. x 则设 u = dv = . 2、  2 1 2 x log xdx, 则设 u = dv = 3、  2 0 sin ,  t tdt 则设 u = dv = 二、填空题 1． 已知 = = = =  f (0) 1, f (2) 3, f '(2) 3, f ''(x) x f ''(x)dx 2 0 连续，则 2．  4 0 7 sin 2  xdx = 3.   0 8 2 sin dx x = 三、计算下列各题 1．  + 2 0 ( sin )  x x x dx 2.  − 1 0 xe dx x 3．  4 1 ln dx x x 4.  1 0 x arctan xdx 5．  e e 1 ln x dx 6.  2 0 cos  e xdx x

&.∫sin(nx)d 四、证明下列等式 1.设fx)连续，求证：∫x达=bb)-fb创-aa)-fa 2.f)在0，连续，求证：6f@d=。-xfx达

88 7．  − 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x 8.  e x dx 1 sin(ln ) 四、证明下列等式 1． 设 f (x) 连续，求证：   =  − −  − b a xf (x)dx [bf (b) f (b)] [af (a) f (a)] 2． f (x) 在 [0,1] 连续，求证：    = − 1 0 1 0 0 [ f (t) dt] dx (1 x) f (x)dx x

练习六 一、判断命题的对或错 .因为=小子为的题，则产字=0 岛8月 岩o有 二、填空题 1、设∫e州=1(k0.则k-( 2日则( ) 当 )时收敛，当( )时积分发散。 高 )时收敛，当( )时积分发散 5h=( 三、求广义积分的值或指出它的敛散性 1.x+2x+2 2、∫+y 3价+评 dx 4

89 练习六 一、判断命题的对或错 1、因为 2 f (x) = x 1+ x 为奇函数，则 0 1 2 = +  + − dx x x （ ） 2、 ( ) = − − = −  0 4 3 1 3 4 0 2 x x dx － 3 4 （ ） 3、 ( ) dx x x  + + 0 2 3 2 1 arctan u = arctan x   = = 2 2 0 0 2 2 2 0 cos sin sec sec    du u udu u u u u u = 2  —1 （ ） 二、填空题 1、设  + − e dx k x =1（k<0），则 k=（ ） 2、  + − dx x A 2 1+ =1，则 A=（ ） 3、 ( )  + − 2 1 p x dx ，当（ ）时收敛，当（ ）时积分发散。 4、 ( )  − 2 1 1 p x dx ，当（ ）时收敛，当（ ）时积分发散。 5、 dx x x  + 1 2 ln =（ ） 三、求广义积分的值或指出它的敛散性 1、  + − 2 2 2 x + x + dx 2、  + − ( x x)e dx − x + 3、  + 0 ( ) 2 3 2 1 x dx + 4、  2 1 x ln x dx

i、j。echtdr 点 9、建立通推公式并计算1，=。e本 1o、j清ad

90 5、  + 0 e chtdt − pt 6、 ( )  − e x x dx 1 2 1 ln 7、  1 0 2 1 x x − dx 8、  1 0 x( x) dx 1− 9、建立递推公式并计算 I x e dx n x n  + − = 0 10、  2 0  lnsinxdx