《高等数学》课程教学资源（导学单）1、函数与极限

第一章：函数与极限 教学目的与要求 15学时 1解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关 系 .掌握极限的性质及四则运算法则。 7了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第一节：映射与函数 一、樂合 1、樂合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A,B,C,D表示集合：用a,b,c,d表示集合中的元素 1)A={a,a2,a3, 2)A={x的性质P; 元素与集合的关系：aAa∈A 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集：不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N,Z,Q,R,N 元素与集合的关系： A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A 是B的子集，记作ACB。 如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作A=B 若作ACB且A≠B则称A是B的真子集。 空集p:中cA 2、集合的运算 并集AUB：AUB=K|x∈A或x∈B时 交集AnB:AB=K|x∈A且x∈B)

第一章：函数与极限 教学目的与要求 15 学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关 系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第一节：映射与函数 一、集合 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素 1) { , , , } A = a1 a2 a3  2) A ={x x的性质P} 元素与集合的关系： a A a A 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系： A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A  B。 如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 若作 A  B 且 A  B 则称 A 是 B 的真子集。 空集  ：   A 2、 集合的运算 并集 A  B ： AB ={x | x A或xB} 交集 A  B ： AB ={x | x A且xB}

差集A\B:A八B={xx∈A且xEB 全集1、E补集AC: 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、AUB=BUA AnB=BOA 结合律、(AUB)UC=AU(BUC) (40B)OC=40(BOC) 分配律(AUB)nC=(AnC)U(BnC) (AnB)UC=(AUC)(BUC) 对偶律(AUB)=A∩B(AnB)=AUB 笛卡儿积A×B={(x,)川x∈A且y∈B 3、区间和邻域 开区间(a,b) 闭区间[a, 半开半闭区间(a,)[a,b) 有限、无限区间 邻域：U(a)U(a,)={a-6<x<a+ a邻域的中心6邻域的半径 去心邻域U(a,6) 左、右邻域 二、映射 1.映射概念 定义设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则∫，使得对X中的每一个元素x,按 法则∫，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称∫为从X到Y的映射，记作

差集 A\ B： A\ B ={x | x A且xB} 全集 I 、E 补集 C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、 A B = B  A A B = B  A 结合律、 (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 分配律 (A B) C = (AC)  (B C) (A B) C = (AC)  (B C) 对偶律 ( c c c A B) = A  B c c c (A B) = A  B 笛卡儿积 A×B ={(x, y)| x A且yB} 3、 区间和邻域 开区间 (a,b) 闭区间 a,b 半开半闭区间 (a,b a,b) 有限、无限区间 邻域： U(a) U(a, ) ={x a −  x  a +} a 邻域的中心  邻域的半径 去心邻域 U(a, )  左、右邻域 二、映射 1. 映射概念 定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中的每一个元素 x ，按 法则 f ，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应，则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作

fX→Y 其中y称为元素x的像，并记作fx),即y=fx) 注意：1)集合X:集合Y:对应法则∫ 2)每个X有唯一的像：每个Y的原像不唯 3)单射、满射、双射 2、映射、复合映射 三、函数 1、函数的概念： 定义：设数集DCR,则称映射f:D→R为定义在D上的函数记为 y=fx)x∈D 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用f、g、o 函数相等：定义域、对应法则相等 自然定义函数：单值函数：多值函数、单值分枝 例：1)y=2 2)y= 1 x>0 3)符号函数 y=0 x=0 -1 x1 2x0≤x≤1 2、函数的几种特性 1)函数的有界性（上界、下界：有界、无界） 有界的充要条件：既有上界又有下界

f：X → Y 其中 y 称为元素 x 的像，并记作 f (x) ，即 y = f (x) 注意：1）集合 X；集合 Y；对应法则 f 2）每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一 3) 单射、满射、双射 2、 映射、复合映射 三、函数 1、 函数的概念： 定义：设数集 D  R ，则称映射 f : D → R 为定义在 D 上的函数 记 为 y = f (x) x D 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用 f 、 g 、  函数相等：定义域、对应法则相等 自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝. 例：１) ｙ＝２ 2) ｙ＝ x 3) 符号函数 4) 取整函数 y = x （阶梯曲线） 5) 分段函数    +   = 1 1 2 0 1 x x  x x y 2、 函数的几种特性 1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界) 有界的充要条件：既有上界又有下界。      − = = 1 0 0 0 1 0   x x x y

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。 2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x?点比较函数值 f(x)与f(x2)的大小（注：与区间有关） 3)函数的奇偶性（定义域对称、f(x)与f(-x)关系决定） 图形特点（关于原点、Y轴对称） 4)函数的周期性（定义域中成立：f(x+)=fx) 3、 反函数与复合函数 反函数：函数∫：D→(D)是单射，则有逆映射~(y)=x,称此映射∫为∫函数的 反函数 函数与反函数的图像关y=x于对称 复合函数：函数u=g)定义域为D,函数y=f)在D上有定义、且fD)CD, 则u=g(f(x》=gf(x)为复合函数。（注意：构成条件） 4、函数的运算 和、差、积、商（注：只有定义域相同的函数才能运算） 5、初等函数： 1)幕函数：y=x 2)指数函数：y=a 3)对数函数y=log.(x) 4)三角函数 y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x),y=cot(x) 5)反三角函数 y=arcsin(x),y=arccos(x) y=arctan(x)y=arccot(x) 以上五种函数为基本初等函数 6双曲函数

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。 2) 函数的单调性 （单增、单减）在 x1、x2 点比较函数值 ( ) 1 f x 与 ( ) 2 f x 的大小（注：与区间有关） 3) 函数的奇偶性(定义域对称、 f (x) 与 f (−x) 关系决定) 图形特点 (关于原点、Y 轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立： f (x + l) = f (x) ) 3、 反函数与复合函数 反函数：函数 f : D → f (D) 是单射，则有逆映射 f y = x − ( ) 1 ，称此映射 −1 f 为 f 函数的 反函数 函数与反函数的图像关 y = x 于对称 复合函数：函数 u = g( y) 定义域为 D1，函数 y = f (x) 在 D 上有定义、且 1 f (D)  D 。 则 u = g( f (x)) = g  f (x) 为复合函数。(注意：构成条件) 4、 函数的运算 和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算) 5、 初等函数： 1) 幂函数： a y = x 2)指数函数： x y = a 3) 对数函数 y log (x) = a 4)三角函数 y = sin( x), y = cos(x), y = tan( x), y = cot(x) 5) 反三角函数 y = arcsin( x) ， y = arccos( x) y = arctan( x) y = arc cot(x) 以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数

sh=e'-e chx e"+e-x 2 2 thx=shat e"-e chx e+ex 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式 sh(x+y)=shx-chy +chx.shy sh(x-y)=shr·chy-chr·shy ch(x+y)=chr·chy+shr·shy ch(x-y)=chx.chy-shx.shy y arshx 反双曲函数：y=arCh y=arthx 作业：同步练习册练习 第二节：数列的极限 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1)这个序列中的每个数都编了号。 2)序列中有无限多个成员。 般写成：4142a3a4.a。. 缩写为{un} 例1数列马是这样一个数列任，》其中 n 名-片n-12345 也可写为：

2 x x e e shx − − = 2 x x e e chx − + = x x x x e e e e chx shx thx − − + − = = 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式 ch x y chx chy shx shy ch x y chx chy shx shy sh x y shx chy chx shy sh x y shx chy chx shy − =  −  + =  +  − =  −  + =  +  ( ) ( ) ( ) ( ) 反双曲函数： y arthx y archx y arshx = = = 作业： 同步练习册练习一 第二节：数列的极限 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成： a1 a2 a3 a4   an   缩写为 un  例 1 数列       n 1 是这样一个数列 xn  ，其中 n xn 1 = ， n = 1,2,3,4,5 也可写为：

1g. 可发现：这个数列有个趋势，数值越米越小，无限接近0，记为即】=0 1、极限的s-N定义： e>0Nn>Nk,-d03Nn>N p(x a0 3N Vn>N x EO(a s) 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质 定理1：如果数列{x}收敛，那么它的极限是唯一 定理2如果数列{xn}收敛，那么数列{}一定有界 定理3：如果mxn=a且a>0(a0,当n>N时，xn>0(x。0使：(xo一P,xo)(xo,xo+P)C二D。 2)如果自变量x趋于x。时，相应的函数值f(x)有一个总趋势一以某个实数A为极限， 则记为：mfx)=A

  5 1 4 1 3 1 2 1 1 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，记为 0 1 lim = n→ n 1、 极限的  − N 定义：   N n  N x a    0   n − 则称数列 xn  的极限为 a ，记成 xn a n = → lim 也可等价表述： 1）   0 N n  N (x a)   n 2）  0 N n N x O(a )      n  极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质 定理 1：如果数列 xn  收敛，那么它的极限是唯一 定理 2 如果数列 xn  收敛，那么数列 xn  一定有界 定理 3：如果 xn a x = → lim 且 a>0(a0，当 n>N 时，  0 (  0) n n x x 定理 4、如果数列 { }n x 收敛于 a 那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于 a。 第三节：函数的极限 一、极限的定义 1、在 0 x 点的极限 1） 0 x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及 f 在 0 x 有没有定义，以及函数值 ( ) 0 f x 的 大小。只要满足：存在某个   0 使： (x0 − , x0 ) (x0 , x0 + )  D 。 2）如果自变量 x 趋于 0 x 时，相应的函数值 f (x) 有一个总趋势-以某个实数 A 为极限 ， 则记为 ： f x A x x = → lim ( ) 0

形式定义为： e>038.(00·N.n>N·xn<￡则称它为无穷小量，即imxn=0 注：1、了6的意义： 2、n<e可写成下。-0<：p0,xn)<E 3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数￡，存在一个号码N,使在这个号码以后 的所有的号码，相应的x.与极限0的距离比这个给定的6还小。它是我们在直观上对于

形式定义为：   0 x(0  x − x   ) f (x) − A   0 注：左、右极限。单侧极限、极限的关系 2、 x → 的极限 设： y = f (x) x(−,+) 如果当时函数值 有一个总趋势-该曲线有一条水平渐近 线 y = A-则称函数在无限远点  有极限。记为： f x A x = → lim ( ) 在无穷远点  的左右极限： f ( ) lim f (x) x→+ + = f ( ) lim f (x) x→− − = 关系为： lim f (x) A lim f (x) A lim f (x) x→ x→+ x→− =  = = 二、函数极限的性质 1、 极限的唯一性 2、 函数极限的局部有界性 3、 函数极限的局部保号性 4、 函数极限与数列极限的关系 第四节：无穷小与无穷大 一、无穷小定义 定义：对一个数列 xn  ，如果成立如下的命题：         n 0 N n N x 则称它为无穷小量，即 lim = 0 → n x x 注： 1、   的意义； 2、   n x 可写成 − 0   n x ； (0, )   n x 3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数  ，存在一个号码 N，使在这个号码以后 的所有的号码 n ，相应的 n x 与极限 0 的距离比这个给定的  还小。它是我们在直观上对于

一个数列趋于0的认识。 定理1在自变量的同一变化过程x→x。(或x→∞)中，函数f(x)具有极限A的充分必 要条件是f(x)=A+a,其中a是无穷小。 二、无穷大定义 一个数列{x},如果成立： G>0Nn>Nk>G那么称它为无穷大量.记成：mx。=0. 特别地，如果G>0Vn>N·xn>G,则称为正无穷大，记成mxn=+o 特别地，如果G>0N.n>N,x。<-G,则称为负无穷大，记成lmxm=- 注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系 定在自变基的用-变化过中，知果四为无穷大，则高为无为小反之，如 果f(x)为无穷小，且f(x)≠0则 为无穷大 即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当x。≠0时：有 m=0→m元 典=02==0 注意是在自变量的同一个变化过程中 第五节：极限运算法则 1、无穷小的性质 设化}和{yn是无穷小量于是： (1)两个无穷小量的和差也是无穷小量：

一个数列趋于 0 的认识。 定理 1 在自变量的同一变化过程 0 x → x （或 x → ) 中，函数 f (x) 具有极限 A 的充分必 要条件是 f (x) = A + ，其中  是无穷小。 二、无穷大定义 一个数列 xn  ，如果成立： G  0N n  N  xn  G 那么称它为无穷大量。记成： =  → n x lim x 。 特别地，如果 G  0N n  N  xn  G ，则称为正无穷大，记成 = + → n x lim x 特别地，如果 G  0N n  N  xn  −G ，则称为负无穷大，记成 = − → n x lim x 注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系 定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无穷大，则 ( ) 1 f x 为无穷小；反之，如 果 f (x) 为无穷小，且 f (x)  0 则 ( ) 1 f x 为无穷大 即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当 xn  0 时：有 =  =   → n x x x 1 lim 0 lim 0 1 lim =   lim =  → n x x x 注意是在自变量的同一个变化过程中 第五节：极限运算法则 1、无穷小的性质 设 xn  和 yn  是无穷小量于是： （1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

mx,=0m.=0→mx,±y)=0 (2)对于任意常数C,数列{Cx,}也是无穷小量 mx。=0→lm(cx,)=0 (3)仔n·y,也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量 mx,=0my.=0→mx,y.)=0 (4)x也是无穷小量： lim x=0台lim x=0 (5)无穷小与有界函数的积为无穷小 2、函数极限的四则运算 1、若函数f和g在点x。有极限，则 Imf+g(x》=mf)+mg) 2、函数∫在点x。有极限，则对任何常数a成立 im(a·f(x)=a.limf(x) 3、若函数∫和g在点x有极限，则 m)gw》=mx)mg) 3、若函数∫和g在点x有极限，并且mg(x)=B≠0，则 周品9 a 极限的四则运算成立的条件是若函数∫和g在点x。有极限 例：求下述极限 2x-3 lim-5x+4 -茶号 3x2-2x-1 m2x-x2+5

lim = 0 lim = 0  lim (  ) = 0 → →  n n x n x n x x y x y （2）对于任意常数 C，数列 c  xn  也是无穷小量： lim = 0  lim (  ) = 0 →  n x n x x c x （3）  n x y n  也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 lim = 0 lim = 0  lim (  ) = 0 → → → n n x n x n x x y x y （4） xn  也是无穷小量： lim 0 lim 0 0 0 =  = → → n x x n x x x x （5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 2、函数极限的四则运算 1、 若函数 f 和 g 在点 0 x 有极限，则 lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x f x g x x→x x→x x→x + = + 2、 函数 f 在点 0 x 有极限，则对任何常数 a 成立 lim ( ( )) lim ( ) 0 0 a f x a f x x→x x→x  =  3、若函数 f 和 g 在点 0 x 有极限，则 lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x g x f x g x x→x x→x x→x  =  3、 若函数 f 和 g 在点 0 x 有极限，并且 lim ( ) 0 0 =  → g x  x x ，则   = =         → → → lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x x x x x x x 极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 g 在点 0 x 有极限 例：求下述极限 9 3 lim 2 3 − − → x x x 5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 7 5 3 3 4 2 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 2 5 3 2 1 lim 3 2 2 − + − − → x x x x x

m 4、复合函数的极限运算法则 定理6设函数y=f几g(x)}是由函数y=(u)与u=g(x)复合而成，f几g(x】在点x的 莱去心邻域内有定义，若m8()= mf)=A,且存在6>0，当x∈4(x0,60)时，有 g(x)≠山o,则 im/八g=lmf)=A 第大节：极限存在准则两个重要极限 定理1夹逼定理：三数列{：n入{y}和仁》如果从某个号码起成立：1)x。<y。<二n 并且已知{女n}和仁.}收敛， 2》mx,=a=m2,则有结论： lin y.=a 定理2单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛：单调减少有下界的数列一定收敛。 外证明：细四1 例：lim tanx

4、 复合函数的极限运算法则 定理 6 设函数 y = f [g(x)} 是由函数 y = f (u) 与 u = g(x) 复合而成， f [g(x)] 在点 0 x 的 某去心邻域内有定义，若 0 lim ( ) 0 g x u x x = → ， f u A u u = → lim ( ) 0 ，且存在  0  0 ，当 ( , ) 0 0 0 x u x  时，有 0 g(x)  u ，则 第六节：极限存在准则 两个重要极限 定理 1 夹逼定理 ：三数列 xn 、yn  和 zn  ，如果从某个号码起成立：1） n n n x  y  z ， 并且已知 xn  和 zn  收敛， 2） n x n x x a z → → lim = = lim ，则有结论： yn a x = → lim 定理 2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 例：证明： 1 sin lim 0 = → x x x 例： x x x tan lim →0 2 0 1 cos lim x x x − → 3 2 1 2 5 lim 2 3 2 − − − + → x x x x x x x x sin lim → f g x f u A x x u u = = → → lim [ ( )] lim ( ) 0 0