《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学4.2 换元积分法

第二节 第四章 换无积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回结环

二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章

基本思路 设F'(w)=f(w)u=2(x可导，则有 dF[p(x)]=fIp(x)]o'(x)dx .Jf[p(x】p'(x)dx=F[o(x】+C=F(u+Cw=o(x [f(u)du 第一类换元法 「fo(x]p'(x)dx 第二类换元法 ∫fo)d HIGH EDUCATION PRESS

第二类换元法 第一类换元法 f [(x)](x)dx  f (u)du  基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 F(u)  f (u), u (x) 可导,     f [(x)] (x)dx F[(x)]C ( ) ( )d u x f u u    ( ) ( ) C u x F u    dF[(x)]  f [(x)](x)dx 则有

一、第一类换元法 定理1.设f()有原函数，u=p(x)可导，则有换元 公式 j/Io(exs=jadu=p 即 ∫fo(xp'(xdr=∫(p(x))dp(x) (也称配元法，凑微分法) HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回结环

一、第一类换元法 定理1. 设 f (u)有原函数, u (x)可导, 则有换元 公式    f [(x)] (x)dx  f (u)du u (x)  f ((x))d(x) (也称配元法 即    f [(x)] (x)dx , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求2cos2xdx 解：令u=2x,则d1=2dx,故 原式=∫eosudu sinu+C=sin 2x+C HIGH EDUCATION PRESS

2cos 2xdx .  解: 令 u  2x, 则 du  2dx ,故 原式 = cosu d u   sin u C  sin 2x C 例1. 求

例2.求 dx J3+2x 解：令u=3+2x,则du=2dx,故 原式=片如 +C-l13+2x1+C HIGH EDUCATION PRESS

1 d . 3 2 x  x  解: 令 u  3 2x, 则 du  2dx ,故 原式 = 1 1 d 2 u u  1 1 ln ln | 3 2 | 2 2  u C   x C 例2. 求

一般地：「f(ax+b)d(a≠0) 解：令u=ax+b,则du=adx,故 原式=Jro)d HIGH EDUCATION PRESS

f (ax  b)dx (a  0).  解: 令 u  ax  b ,则 d u  adx , 故 原式 = 1 f (u)du a  机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地：

例3.求 |(x+2)dkx 解：令u=x+2,则x=u-2,且du=dx,故 原式=少du-小o-如知a: =ln4+4u-2u2+C -n+wc 4 2 HIGH EDUCATION PRESS

2 3 d . ( 2) x x x   解: 令 u  x  2, 则 du dx , 故 原式 = 2 3 ( 2) d u u u  1 2 ln u 4u 2u C       例3. 求 x  u  2, 1 2 3 (u 4u 4u )d u        且 2 4 2 ln 2 ( 2) ( 2) x C x x       

例5.求 ∫xl-xd 解：令u=1-x2,则du=-2xdx,故 +C -.c-50-x3.c HIGH EDUCATION PRESS

2 x 1 x dx .  解: 令 2 u 1 x , 则 du  2x dx , 故 原式 = 1 2 1 d 2  u u  3 2 1 2 3 2 u   C 例5. 求 3 3 2 2 2 1 1 (1 ) 3 3   u C    x C

例6.求 dx 想到公式 +x du 解： dx dx 大 2 = arctanu+C 令w-则d-dd can w-C -arctan(a）+C HIGH EDUCATION PRESS 自录 上项

   2 2 1 ( ) 1 d a x x a 例6. 求   . d 2 2 a x x 解:   2 2 d a x x , a x 令 u  则 x a u d 1 d    2 1 u du a 1 u C a  arctan  1 C a x a  arctan( )  1 想到公式   2 1 d u u  arctan u  C ( ) a x  机动 目录 上页 下页 返回 结束

dx 解：了 d( arcsin ~C a du 想到 arcsin u C ∫fLp(xp'(xdx=∫f(o(x)dp(x) (直接配元) HIGH EDUCATION PRESS 动

例7. 求    ( 0). d 2 2 a a x x    2 1 d u u 想到 arcsin u  C 解:   2 1 ( ) d a x a x    f ((x))d(x) (直接配元)  f [(x)] (x)dx    2 1 ( ) d ( ) a x a x C a x  arcsin     2 2 d a x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束