《高等数学》课程教学资源（导学单）3、导数与微分

第二章导数与微分 教学目的与要求 22学时 1、 理解导数和微分的煜念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线 方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数 的可导性与连续性之间的的关系。 2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数 的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的 微分。 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 会求分段函数的导数 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 一、导数颜念() 定义fo=器 ,+4- ，fx)-fxo =limko x-x0 r-+- △X 左导数 f6的=mxo+a-o=m-o △X X-Xo X→x0 右导数 肉-o+a-。回0- △x XX0 X-X0 .f(xo)=Af(xo)=f(o)=A 可以证明： 可导一连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。 左右导数（注：与左右极限关系） 2、导数的几何意义 曲线y=f()在点(K0,yo)处切线： y-yo=f(xoXx-xo)

第二章 导数与微分 教学目的与要求 22 学时 1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线 方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数 的可导性与连续性之间的的关系。 2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数 的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的 微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 一、导数概念（ 0 0 ） 1、定义 x y f (x ) lim x 0 0 /   =  → 0 0 x x 0 0 x 0 x x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) lim 0 − − =  +  − = →  → x f(x x) f(x) f (x) lim x 0 /  +  − =  → 左导数 0 0 x x 0 0 x 0 / - x - x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) f (x) lim 0 - − =  +  − = → → −  右导数 0 0 x x 0 0 x 0 / x - x f(x) f(x ) lim x f(x x) f(x ) f (x) lim 0 − =  +  − = → + → +  + ∴ f (x ) A f (x ) f (x0 ) A / 0 / 0 - / =  = + = 可以证明： 可导→连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。 左右导数(注：与左右极限关系) 2、导数的几何意义 曲线 y = f(x) 在点 ( ) 0 y0 x , 处切线： ( )( ) 0 0 / y − y0 = f x x − x

例1：讨论)-s血文x20在x0处可导性 0 X=0 解： w=,sn是0=0 fx)在x=0连续 0-中 不存在fx)在x=0不可导 例2：已知f(K0)存在 则▣+2-，-2f） h -)-5fK) h 岛+3-创 h 回+3别。- =4f'(xo) 例3：设函数fx)可微， 则mf+A-f=2x0f'w △X 例4： X≤X0 ax+b x>0 为使f代x)在x=0处可导，应如何选取常数a、b 解：首先fx)必须在xo连续 lim f(x)=lim x2=x X-x0” X→x0 +b=o+b ax+b=xo ① f=mw)-o-m2-通 X→x0X-X0x→x0X-X0

例 1：讨论      =  = 0 x 0 x 0 x 1 xsin f(x) 在 x=0 处可导性 解：∵ 0 f(0) x 1 lim f(x) lim xsin x 0 x 0 = = = → → f(x) 在 x = 0 连续 x 1 lim sin x - 0 f(x) -f(0) lim x→0 x→0 = 不存在 ∴ f(x) 在 x = 0 不可导 例 2：已知 f (x ) 0 / 存在 则 = + → h f(x 2h) - f(x ) lim 0 0 h 0 2f (x ) 0 / = − → h f(x 5h) - f(x ) lim 0 0 h 0 5f (x ) 0 / − h f x h f x h h ( 3 ) ( ) lim 0 0 0 + − − → = h f(x h) -f(x ) h f(x 3h) -f(x ) lim 0 0 0 0 0 − − + h→ 4f (x )0 / = 例 3：设函数 f(x) 可微， 则 =  +   → x f (x x) - f (x) lim 2 2 x 0 2f(x)f (x) / 例 4： 设      +   = ax b x 0 x x x f(x) 0 2 为使 f(x) 在 x = x0 处可导，应如何选取常数 a、b 解：首先 f(x) 必须在 x0 连续 2 0 2 x x x x lim f(x) lim x x - 0 - 0 = = → → lim f(x) lim ax b ax0 b x x0 x x0 = + = + → + → + ∴ 2 b x0 ax + = ① 0 2 0 2 0 x x 0 x x / - x - x x x lim x - x f(x) f(x ) f (x) lim 0 0 − = − = → − → −

6W=mN)-。m+b-x通 x→x0+X-x0x→x0+X-x0 (由①得) :f(Xo)存在 :a=2x0 从而b=-X02 例5：fx)=x(x-lx-2.(x-9列，则f'(0)=-9到 o-80 =m&-1x-2).K-9)=-91 例设)在-0线雀线品设2 则f(0)=1 ”0)=网=0 (分母→0) r@0=0-婴 +x-2】1 =0+x1X 例7：设函数f(1+x)=af(x), 且f(0)=b(a,b≠0)， 问f'(①存在否？ 解rw=+D-a0。 一品a0r02由 二、导数的求法 1、显函数导数

0 0 x x lim x x 2x 0 = + = → − a x - x ax - ax lim x - x ax b - x lim x - x f(x) f(x ) f (x) lim 0 0 x x 0 2 0 0 x x 0 x x / 0 0 0 = = + = − = + + + → → → + ∵ f (x ) 0 / 存在 ∴ 2x0 a = 从而 2 b = −x0 例 5： f(x) = x (x-1)(x-2).(x-9) , 则 f (0) = / − 9! ∵ x - 0 f(x) - f(0) f (0) lim x 0 / → = lim (x 1)(x 2) (x 9) 9 ! x 0 = − − − = − →  例 6：设 f(x) 在 x = 0 领域内连续， 2 1 x 1 f(x) lim x 0 = → + − ， 则 f (0) = / 1 ∵ f(0) lim f(x) 0 x 0 = = → （分母→0） ∴ x f(x) lim x - 0 f(x) - f(0) f (0) lim x 0 x 0 / → → = = 1 2 1 2 x 1 x 1 1 x -1 f(x) lim x 0 =  = + −  + = → 例 7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 f (0) b / = (a , b ≠0)， 问 f (1) / 存在否? 解： c x af( x)- af(0) lim x f(1 x)-f(1) f (1) lim x 0 x 0 /   =  +  =  →  → af (0) ab x f( x) -f(0) lim a / x 0 = =   =   → 二、导数的求法 1、显函数导数 （由①得）

求一个显函数的导数需解决： ①基本初等函数导数(P) ②导数四则运算法则(P) ③复合函数与反函数求导法则(P)。 定理： 0K)在X有号数业y=回)在对应点u有号数密， 则复合函数y=f[p(】在X处也有导数 盘-品装ro 例1：y=Xsm2x2+l 求y 解：y=sim2x2+l+x4牧cosx2+l 例2：y=n+x2 求y y圳+刘0 例3：y=arctgx 求y 例：y=an 求y 解 例5：y=n3(2x+1)求y 解=+23 例6：y=收++派 求y 解：y√= 1 例7：y=x求y

求一个显函数的导数需解决： ①基本初等函数导数(P64); ②导数四则运算法则(P65); ③复合函数与反函数求导法则(P66)。 定理： u = (x) 在 X 有导数 dx du ， y = f(u) 在对应点 u 有导数 du dy ， 则复合函数 y = f(x) 在 X 处也有导数， f (u) (x) dx du du dy dx dy / / =  =   。 例 1： y xsin(2x 1) 2 = + 求 / y 解： y sin(2x 1) x 4x cos (2x 1) / 2 2 = + +  + 例 2： 2 y = ln 1+ x 求 / y 解： ( ) 2 ln 1 x 2 1 y = + 2 2 / 1 x x 1 x 2x 2 1 y + = + =  例 3： y = arctg x 求 / y 解： 2 x 1 1 x 1 y /  + = 例 4： x 1 arctg y = a 求 / y 解： x 1 arctg 2 2 2 x 1 arctg / a 1 x lna x 1 x 1 1 1 y a lna +  = −       −       + =  例 5： y ln (2x 1) 3 = + 求 / y 解： ( ) 2x 1 2 y 3ln 2x 1 / 2 + = +  例 6： y = x + x + x 求 / y 解：                + + + + + = 2 x 1 1 2 x x 1 1 2 x x x 1 y / 例 7： sinx y = x 求 / y

解：y=ery=x四+-cosx-l 例8：y=ab+xab+bx 求y 解：y=ana.bInb+axab-l+b"Inb.ax-l y 求y 解：y=e-nle+月x-ne+) y 高阶导数、二阶： 斜，-园 △x -im) x-x0 例y=2），)=来丧 解：业.de2de2 dx de2x dx -re2x)2e2 Ine 2x .2e2x 4xex 先讲微分（后页） 入条方程我a只5时卡.内 例10：求下列隐函数的导数 (1)ysinx-cos(x-y)=0 求y 解：方程两边对x求导， y'sinx +ycosx+sin(x-y).(1-y=0

解： sinx lnx y e  =       = + cosx lnx x sinx y x / sinx 例 8： x b a b a x y = a + x + b 求 / y 解： / b x b a 1 x a 1 y a lna b lnb a x b lnb ax x b a − − =  + +  例 9： e 1 e y ln 2x 2x + = 求 / y 解：  ( ) ln(e 1) 2 1 lne ln e 1 x 2 1 y 2x 2x 2x = − + = − + 2x 2x 2x / 1 e 1 e 1 2e 2 1 y 1- + = + =  高阶导数、二阶： ( ) ( ) x f x x f x lim dx x x d y 0 / 0 / x 0 0 2 2  +  − = =  → ( ) ( ) 0 0 / / x x x x f x f x lim 0 − − = → 例 10： ( ) 2x y = f e ， f (x) lnx / = 求 dx dy 解： ( ) dx de de df e dx dy 2x 2x 2x =  ( ) / 2x 2x = f e  2e 2x 2x = lne 2e 2x = 4xe 先讲微分（后页） 2、 隐函数导数参数方程导数 如方程 F(x，y)=0 确定了 y=y(x)，只需方程两边对 x 求导，注意 y=y(x) 例 10：求下列隐函数的导数 （1）设 ysinx − cos(x − y) = 0 求 / y 解： 方程两边对 x 求导， y sinx ycosx sin(x y) (1 y ) 0 / / + + −  − =

y-ycosx+sin(y) sin(x-y)-sinx ②设y=心)是由方程e+h<名=0所商定的隐香数 求y(O) 解由眼方程妇音时y一甘 方程两边对x求导。 e6+9)小-=0：将x0y=君代入得90-1=0 y 1+x e yo-周 (③)y=y(K)是由方程e'+灯y=e所确定的隐函数， 试求y(O),y"(O) 解：方程两边对x求导： e%y!+y+xy=0 ① 方程两边再对x求导： ey"+e6}+2y+g"=0② 由原方程知，当X=0时.y=1.代入0闲y@=-日 再将x=0,y=1,y'(0=-1代入②式， e 得y0=3 a 丧装 是贵器 业 解：d少

( ) sin(x y) sinx ycosx sin x y y / − − + − = （2）设 y = y(x) 是由方程 0 x 1 y e ln xy = + + 所确定的隐函数， 求 y (0) / 解： 由原方程知当 x=0 时， e 1 y = ， 方程两边对 x 求导。 ( ) 0 1 x 1 y y e y xy / xy / = + + + − ，将 x=0， e 1 y = 代入得： ey (0) 1 0 e 1 / + − = ∴ ( )       = − e 1 1 e 1 y 0 / (3) y = y(x) 是由方程 e xy e y + = 所确定的隐函数, 试求 y (0) / , y (0) // 。 解: 方程两边对 x 求导： e y y xy 0 y / / + + = ① 方程两边再对 x 求导： e y e (y ) 2y xy 0 / // 2 y // y / + + + = ② 由原方程知，当 x = 0 时， y =1 ，代入①得 e 1 y (0) / = − 再将 x = 0， y =1， e 1 y (0) / = − 代入②式， 得 2 // e 1 y (0) = (4) 设    = + = − y t 1 x e 1 3 2t 求 2 2 dx d y dx, dy 解： 2 2t 2t 2 t e 2 3 2e 3t dt dx dt dy dx dy − = = =

dx &-22e-2e)0 dt =0-e 同设y-闭是由方程盟2。所确定的函数。果杂 y-e smt-1=0 -2-2 鲁-e心cm-e心sng-0盘ead dt 1-eysint e cost dx(t-(l-e'sint) 3、分段函数的导数 1)设x)={ +1-s0 sinx (a>0,a≠1)， x X>0 求：f(x) 解：当X0,f(x)=xcosx-sinx x- 2a*+1-2-1 ()=lim f(x)-f()=lim a x→0 x-0 x→0 X→0 X

2t 2t 2 2t 2 2 2e 1 (2te 2t e ) 2 3 dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx d y = −        =       = − − 4t t(1 t)e 2 3 − = − (5) 设 y = y(x) 是由方程组    − − = = − − y e sin t 1 0 x t 2t 3 y 2 所确定的函数，求： dx dy 。 解： 1 e sin t e cost dt dy 0 dt dy e cost e sin t dt dy 2t 2 dt dx y y y y − − − = = = − 2(t 1)(1 e sin t) e cost dt dx dt dy dx dy y y − − = = 3、 分段函数的导数 1) 设         + −  = (a 0,a 1), , x 0 x sin x , x 0 a 2 a 1 a 2 f(x) x 求： f (x) / 解：当 2 / / x x x cosx sin x x 0, f (x) ln a a a 2 x 0, f (x) −  =  =  x 1 a 2 a 1 a 2 lim x 0 f(x) f(0) f (0) lim x x 0 x 0 _ / + − − = − − = → − → − ln a a 2 x (a 1) a 2 lim x x 0 = − = → − x 1 x sin x lim x f(x) f(0) f (0) lim x 0 x 0 / − = − = → + → + +

=lim sinx-=lim cosx-1=0 x0*X2=x02x -(0)≠f+(0) fo0不在做y国-0 高阶导数(n阶)略， 例y=x(2x-1)2(x+3)3 yo=4×6I 2)设f(x)在(-0，+o0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0,对函数 g(x)= a x≠0 x=0 (1)确定a的值，使g(x)在(-0，+0)上连续 (②)对(1)中确定的a,证明g(x)在(-，+o)上 一阶导数连续 解： 即当a=f(0),y(x)在x=0连续， 也就是在(-0，十o0)连续 f(x)(0) @g@=只0-文、 袋空9 2 两-@

0 2x cosx 1 lim x sin x x lim x 0 2 x 0 = − = − = → + → + f (0) f (0) / / −  + ∴ f (0) / 不存在，故       = 0 0 ( ) / x x f x 高阶导数（n 阶）略， 例 2 3 y = x(2x −1) (x + 3) = (6) y 46 ! 2) 设 f(x) 在（ − ,+ ）上具有二阶连续导数，且 f(0) = 0 ，对函数        = a x f(x) g(x) x 0 x 0 =  (1) 确定 a 的值，使 g(x) 在（ − ,+ ）上连续 (2) 对（1）中确定的 a ，证明 g(x) 在（ − ,+ ）上 一阶导数连续 解： ① f (0) x f(x) f(0) lim x f(x) a lim g(x) lim / x 0 x 0 x 0 = − = = = → → → 即当 a f (0), / = y(x) 在 x = 0 连续， 也就是在（ − ,+ ）连续 ② x f (0) x f(x) lim x g(x) g(0) g (0) lim / x 0 x 0 / − = − = → → 2 f (0) 2 f (x) lim 2x f (x) lim // // x 0 / x 0 = = = → → 而 2 / x 0 / x 0 x xf (x) f(x) lim g (x) lim − = → →

='国+f张-f图-9 2X n0=g0 g(X)在x=0连续，即在（仁0，+∞）连续 三、微分 y=f(x) dy=f(x)△x=f'(x)dx 一阶微分形式不变y=f(u) dy=f(u)du(u自变量) 如y=f(u)u=p(x) dy=f'(u)p'(x)dk=f(u)du(u中间变量) 例：y=eX2,dy=2xe×2dk,dy=e2dk2=2ex2dx 可导 ·可微

g (0) 2 f (0) lim 2x xf (x) f (x) f (x) lim / // x 0 // / / x 0 = = + − = → → g (x) / 在 x = 0 连续,即在 (− ,+) 连续 三、 微分 dy f (x) x f (x)dx y f(x) / / =  = = 一阶微分形式不变 y = f(u) dy f (u)du / = （ u 自变量） 如 y = f(u) u = (x) dy f (u) (x)dx f (u)du / / =  = ( u 中间变量) 例： 2 x y = e ，dy 2xe dx 2 x = ， dy e dx 2xe dx 2 2 x 2 x = = 可导 可微