《高等数学》课程教学资源（导学单）6、不定积分

第四章不定积分 教学目的与要求 1.理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元 积分法与分部积分法。 3.求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 1、原函数、不定积分 在区间I上，如F(x)=f(x),称fx)为Fx)的导函数，称Fx)为f(x)的原函 数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如Fx)为f(x)的一个原函数，则F()+C为f()的全体原函数。 记为[fx)dx,即[fx)dx=F(x)+C 不定积积分性质 (1)(ff(x)dx)'=f(x)dff(x)dx=f(xdx (2)「F'(x)dx=Fx)+C (3)∫k f(x)dx=k∫fx)dx (④)「(fx)±gx)dx=「fx)dx±gx)dx :原函数与导函数有互逆关系， 由导数表可得积分表。 例、已知FX)是nX的一个原函数， 求：dF(sinx) 解：F'=n X dFsn对-mcosxdx dsinx sinx

第四章不定积分 教学目的与要求 1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。 2． 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元 积分法与分部积分法。 3． 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 1、原函数、不定积分 在区间Ⅰ上，如 F (x) f(x) / = ，称 f(x) 为 F(x) 的导函数，称 F(x) 为 f(x) 的原函 数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 F(x)+ C 为 f(x) 的全体原函数。 记为  f(x)dx ，即  f(x)dx=F(x)+ C 不定积积分性质 (1) ( f(x)dx) f(x) /  = 或 d f(x)dx = f(x)dx  (2) F (x)dx F(x) C /  = + (3)  =  k f(x)dx k f(x)dx (4)   =    (f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx ∵原函数与导函数有互逆关系, ∴由导数表可得积分表。 例、 已知 F(x) 是 x ln x 的一个原函数， 求： dF(sin x) 解： x lnx F (x) / = cosxdx sinx lnsinx dsinx dsinx dF(sinx) dF(sin x) = =

例、f(x)的导函数是sinx,则f(x)的原函数 -sinX+C,X+c2,(c,、c,为任意常数) 例、在下列等式中，正确的结果是C A、∫f'(x)dx=fK) B、「dfx)=fx) c&f6eds=的 D、df(x)dx=fx) 例、小-之=jxx0-灿 =J(xi-xxdx +C 2、计算方法 1°换元法 第一类换元法（凑微分法） 常用凑微分形式 dkx=kdx d(x+c)=dx e*dx=de* I dx=dinx X cosx=dsinx 2友=d版 sec'xdx =dtanx

例、 f(x) 的导函数是 sin x ，则 f(x) 的原函数 1 2 − sin x + c x + c ，( 1 c 、 2 c 为任意常数) 例、在下列等式中，正确的结果是 C A、 ( )  f (x)dx = f x / B、  df(x) = f(x) C、  f (x)dx = f(x) dx d D、d f (x)dx = f(x) 例、 )dx x 1 )dx x x (1 x 1 x x (1 2 4 1 2 1 2  − =   − (x - x )dx 4 5 4 3  − = x 4x C 7 4 4 1 4 7 = + + − 2、计算方法 1 0 换元法 第一类换元法（凑微分法） 常用凑微分形式 dkx = kdx d(x + c)= dx x x e dx = de dx dlnx x 1 = cosx = dsin x x 1 dx d x 1 2 − = dx d x 2 x 1 = sec xdx dtan x 2 =

-文dk=daesin 1 dx=dvI+x 1+x 晨=d- sin2x dx =dsin'x -sin2x dx=-dcos2x 例： 2、∫dx-fdn x=子w)+c 3.fcosxsin'xdx=fsin'xdsinx=sin+c 小jdx=-a=-+ 5.fe'ds-feucye （a 8+2x+5dx=可+iW+4+c -am+c a文dxn5+e dx dx 10j+12xx5-2-3网

dx d arc sin x 1 - x 1 2 = 2 2 dx d 1 x 1 x x = + + 2 2 dx d 1 x 1 - x - x = − sin 2x dx dsin x2 = sin2x dx dcos x2 − = − 例：1、   − = − − + − = − − ln 3 2x c 21 d(3 2x) 3 2x 1 21 dx 3 2x 1 2 、  = = (lnx) + c 32 dx lnx d ln x x ln x 23 3 、  = = sin x + c 41 cos x sin xdx sin x d sin x 3 3 4 4 、  = − d 1- x = 1− x + c 21 d x 1- xx 2 2 2 5、  = −  = − e + c 31 e d(-x) 31 x e dx 3 3 -x 3 -x 3 2 -x 6、    = +     + = + c ax arc tan a1 ax d ax 1 1 a1 dx a x 1 2 2 2 7 、   = + + = + c a 2x arctan 61 d2x 3 (2x) 1 21 d x 9 4x 1 2 2 2 8 、   + + + = + + d(x 1) c (x 1) 4 1 d x x 2 x 5 1 2 2 c 2 x 1 arctan 21 + + = 9 、  = + c ax d x arcsin a - x 1 2 2 10 、   − − = + 2 2 5 (2 3x) dx 1 12x - 9x dx

= jaem=amte 12.[tan'xdx=ftan'x(sec'x-1)dx =∫tan2 xd tan x-∫(scc2x-ldwy =itan'x-tanx+x+C l3、∫csn'X4k=faresin'xdarcsn V1-x2 -arcsin'x+C l4、∫esin(e+l)dx=∫sin(e+l)d(e+l) =-cos(e*+1)+C 15、cosds=-2fcos√KdVF =2sinx+C 层= =2arctanxdarctanx =arctan2√X+C -e -x-fd(te) 1+e* =x-In(I+e*)+C

31 = − c 5 2 3x arc sin + − 11 、 d(tanx 1) 2 tanx 1 c tan x 1 1 tan x 1 sec x2 + = + + + = +   1 2 、  tan xdx =  tan x(sec x − 1 )dx 4 2 2 tan xd tan x (sec x 1)dx 2 2 =  −  − tan x tan x x C 31 3 = − + + 1 3 、 dx arcsin xdarcsin x 1 x arcsin x 4 2 4  =  − arcsin x C 51 5 = + 1 4 、 e sin(e +1)dx =  sin( e +1)d(e +1) x x x x cos(e 1) C x = − + + 15 、  =  ds 2 cos x d x x cos x = 2sin x + C 16 、 d x 1 x arctan x dx 2 (1 x ) x arctan x   + = + =  2 arctan x darctan x arctan x C 2 = + 17 、 dx 1 e 1 e e dx 1 e 1 x x x  x  + + − = +  + = − dx 1 e e 1 x x ( )  ++ = − x x 1 e d 1 e x x ln (1 e ) C x = − + +

1814 de' aectan e 方号-+e++c -r-p+mc 解：∫x'l+nxk=∫ed(xInx) =+C=x*+C 0解oedk=dn =tanxinsinx-tanox tanxInsinx-x+C .dmed =-∫tanxde-tn =-tanxe-tanx+eta'dtanx =-tanxe-ianx-e-ianx +C 22、设jxf(xHk=arcsinx+C,则 ∫0=30-x+c 二。第二换元法 定理2 除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式

18、    + − + = + − e (e 4) de e 4 de dx e 4 e 1 x 2x x 2x x 2x x x 2x x x x de e 4 e e 1 4 1 2 e arctan 2 1        + = − − ln(e 4) C 8 1 4 x 2 e arctan 2 1 2x x = − + + + 19、   + + = + + dx x 3sinx 3x 3cosx 3 1 dx x 3sinx x cosx 3 2 3 2 ( )  = + + + + = ln x 3sinx C 3 1 x 3sinx d x 3sin x 3 1 3 3 3 解： ( ) ( )  + =  x 1 lnx dx e d xlnx x xlnx e C x C xlnx x = + = + 20、解：  =  dx lnsinxdtanx cos x lnsinx 2 = −  dx sinx cosx tanxlnsinx tanx = tanxlnsinx − x + C 21、   − − e dx = tanxe dtanx cos x sinx tanx tanx 3  − = − tanx tanxde  − − = −tanxe + e dtanx tanx tanx tanxe e C tanx tanx = − − + − − 22、设  xf(x)dx = arcsin x + C ，则 ( ) ( )  = − 1− x +C 3 1 f x dx 3 2 二．第二换元法 定理 2 除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式

Va2-x2,令x=asint √a2+x2,令x=atant √x2-a2,令x=asect 如是√ax2+bx+C配方 →+a,Vu2-a,a-u 例区 令x=sint,dx=costdt 解原默-器cos fcot'tdt=f(csc't-1)dt /I -x =-cott-t+C -i-叉-arcsi+C X m2j女-4 1 二种解法 x=2sect x=4cosx (2)被积函数中含一般根式 dx 例3、∫1+Vx+2 解：令Vx+2=tx=t-2dx=3tdt 赋-器=-1中a -收*2-3版*2+3+版+习+C

2 1− x 2 2 a − x ，令 x = a sin t 2 2 a + x ，令 x = a tan t 2 2 x − a ，令 x = a sect 如是 ax bx C 2 + + 配方 2 2 1 2 1 2 2 1 2 → u + a , u − a , a − u 例 1、 dx x 1 x 2 2  − 令 x = sin t, dx = costdt 解：原式  =  costdt sin t cost 2 = cot tdt =  (csc t −1)dt 2 2 = −cott − t +C arcsin x C x 1 x 2 − + − = − 例 2、 dx x x 4 1 2 2  − 二种解法 x = 2sect x = 4cos x （2）被积函数中含一般根式 例 3、  + + 3 1 x 2 dx 解：令 x 2 t x t 2 dx 3t dt 3 3 2 + = = − = 原式   + = − + + = )dt 1 t 1 dt 3 (t 1 1 t 3t 2 (x 2) 3 x 2 3ln 1 x 2 C 2 3 3 2 3 3 = + − + + + + + 1 t x

小j+F故冬X=dk=6a t-npe-da-6c-i+a =传++列+c =3板-6版+6l+风+C 例5、∫e+1d 解：令Ve+1=t e*=t2-1 x-e-0）d-n 默小高=+ =2+h4c =2e+1+n(e+1-)-ln(e+1+1)+C 2°分部积分 如u(X)、V(x)均具有连续的导函数，则 fudv=uv-∫vdu 例l、∫xcos x dx=xdsinx =x sin x-[sin x dx =x sin x+cosx+c 例2、∫xe*dx=-∫xde =-xe+∫edx =-Xe*-e*+C

例 4、  + dx x x 1 3 2 令 x t dx 6t dt 6 5 = = 原式    + = − + + = + = )dt 1 t 1 dt 6 (t 1 1 t t dt 6 t t 6t 2 3 4 5 t ln1 t C 2 t 6 2  +      = − + + 3 x 6 x 6ln1 x C 3 6 6 = − + + + 例 5、  e + 1dx x 解：令 e 1 t e t 1 x x 2 + = = − dt t 1 2t x ln(t 1) dx 2 2 − = − = 原式         − = + − =  dt t 1 1 dt 2 1 t 1 2t t 2 2 C t 1 t 1 2t ln + + − = + 2 e 1 ln( e 1 1) ln( e 1 1) C x x x = + + + − − + + + 2 0 分部积分 如 u(x)、 v(x) 均具有连续的导函数，则  = −  u dv uv vdu 例 1、  =  xcos x dx xdsin x =  x sin x - sin x dx = x sin x + cos x + c 例 2、   − − = − x x xe dx xde  − − = −xe + e dx x x xe e C x x = − − + − −

例3、 ∫(arcsinx)2dk j小=xecm广-小2cmN=cm广+2acd =x6csm旷+2看-acs小i-内 =x(arc sinx )+2v1-xarc sinx -2x+C 州d=hx周 =+安 例5、∫血lhdk=fhxdinx =hx-hhx-hx文女 =Inx In Inx-Inx+c 例6、∫xtan'xdx=∫x(sec2x-l)dk -jd号 :s-jmxk-号 =xtmx+heos对-芝+c m咖 1+x2 fnctin

例 3、  x dx 2 (arcsin ) ( )   = −  dx 1- x 1 x arc sinx x 2arc sin x 2 2 ( ) = +  2 2 x arc sinx 2 arc sinxd 1- x ( )       − = + −   dx 1 x 1 x arc sinx 2 1 x arc sinx - 1- x 2 2 2 2 x(arc sinx ) 2 1 x arc sinx - 2x C 2 2 = + − + 例 4、         = − x 1 dx ln x d x ln x 2 = − +  dx x 1 x lnx 2 c x 1 - x lnx = − + 例 5、  =  dx ln ln x d ln x x ln lnx  =    dx x 1 ln x 1 ln x ln ln x - ln x = ln x ln ln x -ln x + c 例 6、  xtan xdx =  x(sec x −1)dx 2 2 =  − 2 x xdtanx 2 2 x xtanx tan x dx 2 = −  − c 2 x x tan x ln cos x - 2 = + + 例 7、   + + − = + arctan xdx 1 x x 1 1 dx 1 x x arctan x 2 2 2 2  + = − )dx 1 x arctan x (arctan x 2

=farctanxdx-farctanxdarctanx -xarctanx dx(arctan) =xarctanx-(1+(arctanx)+e 例8、 jx++x=x++)-可交+e dx =xnx+1+x2)-√1+x2+c 例9、∫e"cose'dx=e'dsine =e'sine'-∫sine'de =e'sine*+cose+c 例10、[x'sin'xdx=jx2号1-cos2x)d -名nx -名-nx-对oa -若-nax-o2x+gn2x+e 产k=-sd/- =-v1-xarcsinx +x+c

=  −  arctanxdx arctan xdarctan x 2 2 (arctan x) 2 1 dx 1 x x xarctan x − + = −  (arctan x) c 2 1 ln(1 x ) 2 1 xarctan x 2 2 = − + − + 例 8、   + + + + = + + − c 1 x dx ln(x 1 x )dx xln(x 1 x ) 2 2 2 xln(x 1 x ) 1 x c 2 2 = + + − + + 例 9、  =  2x x x x e cose dx e dsine = −  x x x x e sine sine de e sine cose c x x x = + + 例 10、  =  (1− cos2x)dx 2 1 x sin xdx x 2 2 2 = −  x dsin2x 4 1 6 x 2 3 = − +  xsin 2x dx 2 1 x sin2x 4 1 6 x 2 3 = − −  xd cos2x 4 1 sin 2x 4 x 6 x 3 2 sin 2x c 8 1 x cos2x 4 1 x sin2x 4 1 6 x 2 3 = − − + + 例 11、  = − − − 2 2 dx arcsinxd 1 x 1 x xarcsinx 1 x arcsinx x c 2 = − − + +

3°有理函数的积分「R(K)水 有理函数的积分 P(x)= A e国-artx-m++ (x-a) B. a-r+a-产++- Mix+N M2x+N2 M3x+N3 (x2+px+gx2+r+g+ (x2+px+q) taar (x2+x+s) 方法： 一真分式一部分分式 部分分式： 1 1 Mx+N Mx +N ax+b'(ax+b)"'x2+px+q'(x2+px+qr 其中：p2-4q<0 确定常数的值：再积分。 件v1226 0 a+20+ 1 x+1 解： ×+1 x2-x-2衣-4K+

3 0 有理函数的积分 ( ) R x dx 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 x rx s R x S x rx s R x S x rx s R x S x px q M x N x px q M x N x px q M x N x b B x b B x b B x a A x a A x a A Q x P x + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − + + − + − + − + + − + − = − − − −                 方法： →真分式→部分分式 部分分式： ( ) ( ) n 2 n 2 x px q Mx N , x px q Mx N , ax b 1 , ax b 1 + + + + + + + + 其中： p 4q 0 2 −  确定常数的值；再积分。 例： 1)  − + + dx x x x 5 6 3 2 2) dx x x x  + + − 2 3 2 2 3)  − dx x(x 1) 1 4) dx x x  (1+ 2 )(1+ ) 1 2 5)  − − + dx x x 12 x 1 2 解： (x 4)(x 3) x 1 x x 12 x 1 2 − + + = − − + x 3 B x 4 A + + − =