《高等数学》课程教学资源（章节练习）第六章练习题

第六章练习题 练习一 一、填空题 1、由=，=√乐所围图形的面积为( 2、由y-√，y-1,4所围图形的面积为（ 3由x之，x,-2x所围图形的面积为( 4、由y=e,y-e,x-0所围图形的面积为( *5、由r=2a(2+cos0)(a>0),所围图形的面积为( 二、计算下列各题 1、求由=e,=e和x=l所围图形的面积 工、求y一子广宁和以所服图形的酒积 3、求由抛物线y-一x+4x一3及其在(0，一3)和(3,0)处的切线所围平面图形的面积

97 第六章 练习题 练习一 一、填空题 1、由 у=х 2，у= x 所围图形的面积为（ ） 2、由 у= x ，у=1，x=4 所围图形的面积为（ ） 3、由 у=х 2，у= x，у=2 x 所围图形的面积为（ ） 4、由 у=℮ x，у=℮，x=0 所围图形的面积为（ ） *5、由 r=2 a( 2+cosθ) （a>0），所围图形的面积为（ ） 二、计算下列各题 1、 求由 у=℮ x，у=℮ -x和 x=1 所围图形的面积。 2、 求 у= x 1 ，у= 2 1 x ，x= 2 1 和 x=2 所围图形的面积。 3、 求由抛物线 у=－x 2＋4 x－3 及其在（0，－3）和（3，0）处的切线所围平面图形的面积

4、求由摆线x=at一sint,y-a1-cos的一拱(0≤2π)与横轴所围图形的面积。 5、求由曲线=2(1一s0)所围成的平面图形的面积。 +三、求曲线=3c0s0及=1十0s0所围图形的公共部分的面积。 *四、求对数螺线r-ae及射线索0一元，-元所围图形的面积。 五、求位于y-®下方，该曲线过原点的切线的左方及x轴上方之间平面图形的面积

98 4、 求由摆线 x=a(t－sint), у=a(1－cost)的一拱（0≤t≤2π）与横轴所围图形的面积。 *5、求由曲线 r=2（1－sinθ）所围成的平面图形的面积。 *三、求曲线 r=3 cosθ 及 r=1＋cosθ 所围图形的公共部分的面积。 *四、求对数螺线 r=a℮θ及射线索 θ=－π，θ=π 所围图形的面积。 五、求位于 у=℮ x下方，该曲线过原点的切线的左方及 x 轴上方之间平面图形的面积

练习二 一、填空题 1、平面图形axb,0s,(x)≤s,()绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积公式为 V=4。 2、曲线y一2与xy所围图形绕y轴旋转所成的立体的体积为V气 }。 子、由子+茶1所围图形烧：轴淡转所成的立体的体积V( 2 ),此图形绕y轴旋转所 成的立体的体积V=4。 4、直线y=R将圆x+y2y分成上、下两个半圆，它们饶x轴旋转所生成的两个旋转体的体 积之比为( 二、求+(y一5)？-16所围图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积 *三、求摆线x=at一sint,y=a一cos的一拱及y0所围图形绕y=2a旋转所成的立体的体积 *四、().写出星形线x+=a的参数方程

99 练习二 一、填空题 1、 平面图形 a≤x≤b，0≤ƒ 1 (x) ≤у≤ƒ 2 (х)绕 х 轴旋转一周所成的旋转体的体积公式为 V=﴾ ﴿。 2、曲线 у=х 2 与 x=у2 所围图形绕 y 轴旋转所成的立体的体积为 V=﴾ ﴿。 3、由 2 2 a x ＋ 2 2 b y =1 所围图形绕 x 轴旋转所成的立体的体积 V=﴾ ﴿，此图形绕 y 轴旋转所 成的立体的体积 V=﴾ ﴿。 4、直线 y=R 将圆 x 2+y2 ≤2Ry 分成上、下两个半圆，它们绕 х 轴旋转所生成的两个旋转体的体 积之比为（ ）。 二、求 x 2+（у－5）2=16 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积。 *三、求摆线 x=a(t－sint), у=a(1－cost)的一拱及 у=0 所围图形绕 y=2 a 旋转所成的立体的体积。 *四、(1). 写出星形线 x ⅔+y ⅔=a ⅔的参数方程

(2).把此曲线所围成的平面图形绕x轴旋转，计算所生成的立体的体积。 五、有一截锥体，其高为h,上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B,求这 截锥体的体积。 六、计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条周定直径的所有截面都是等边三角形的 立体的体积。 七、证明：由平面图形0sash,0ssf饶y轴旋转所成的旋转体的体积为：V=2π[xfx)

100 (2). 把此曲线所围成的平面图形绕 х 轴旋转，计算所生成的立体的体积。 五、有一截锥体，其高为 h,上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 2a、2b 和 2A、2B，求这 截锥体的体积。 六、计算底面是半径为 R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体的体积。 七、证明：由平面图形 0≤a≤x≤b, 0≤y≤ƒ(х)绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为：V=2π xf x dx b a ( )

*练习三 一、填空题 1小、曲线=之-号m由x-1到x-e之间的弧长为( 2、摆线x=at-sint),=aM一cosw)相应于0s红的长度为( 3、对数螺线=e由0-0到0=π的一段弧长为( 4、心形线=f1+cos(a>0)的全长为( 二、求曲线y-誓仔-)上相应于1s0)的全长。 五、求星形线x-acor20,y-asim0(a>0)的全长。 101

101 * 练习三 一、填空题 1、曲线 y= 4 1 x 2 – 2 1 lnx 由 x=1 到 x=e 之间的弧长为（ ） 2、摆线 x=a(t－sint), у=a(1－cost)相应于 0≤t≤π 的长度为（ ） 3、对数螺线 r=eaθ由 θ=0 到 θ=π 的一段弧长为（ ） 4、心形线 r=a﴾1+cosθ﴿（a>0）的全长为（ ） 二、求曲线 y= 3 x ﴾3−x﴿上相应于 1≤x≤3 的一段弧长。 三、求曲线 y= sin (0 ) 0     tdt x x 的全长。 四、求心形线 r=a﴾1−cosθ﴿（a>0）的全长。 五、求星形线 x=acos3θ，y=asin3θ（a>0）的全长

六.抛物线)ar2上从(0,0)到(1，a)的长为5+h(1+②)1求a的值。 七、计算抛物线2=2r(p>0)从顶点到曲线上点M(x,y)的弧长 八、求曲线=1相应于号的一段长

102 六、抛物线 y=ax2 上从（0，0）到（1，a）的长为 2 1 [ 2 + ln(1+ 2) ],求 a 的值。 七、计算抛物线 y 2=2px（p>0）从顶点到曲线上点 M（x，y）的弧长。 八、求曲线 rθ=1 相应于 4 3 ≤θ≤ 3 4 的一段弧长

*练习四 一、填空题 1、质量分别为m、M相距为r的两质点间的引力的大小为( ),引力的方向沿着两质 点的( ）方向。 2、设r为溶液的比重，在液面下深为h处的压强为( )。 3、弹簧在拉伸中需要的力（单位：牛顿）与伸长量S(单位：厘米)成正比，即F-S,K为 比例常数，则把弹簧从原长拉伸6厘米所需要的功W )焦耳 4、直径为20cm，高为80m的圆柱形封闭容器内充满压强为本10NW/m2的蒸汽，在恒温条件 下，要使蒸汽体积缩小一半，则需要作的功为( )焦耳。 二、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比。在第一 次击打时，将铁钉击入木板1m,如果铁锤每次击打铁钉所作的功相等，求锤击第二次 时，铁钉又击入多少m? 三、设一维形贮水池，深15m,口径20m,盛满水，今以吸筒将水吸尽，问要作功多少？ 四、一物体按规律x=作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移至 xa时，克服媒质阻力所作的功 103

103 *练习四 一、填空题 1、质量分别为 m、M 相距为 r 的两质点间的引力的大小为（ ），引力的方向沿着两质 点的（ ）方向。 2、设 r 为溶液的比重，在液面下深为 h 处的压强为（ ）。 3、弹簧在拉伸中需要的力（单位：牛顿）与伸长量 S（单位：厘米）成正比，即 F=KS,K 为 比例常数，则把弹簧从原长拉伸 6 厘米所需要的功 W=（ ）焦耳。 4、直径为 20 ㎝，高为 80 ㎝的圆柱形封闭容器内充满压强为本 10N/cm2 的蒸汽，在恒温条件 下，要使蒸汽体积缩小一半，则需要作的功为（ ）焦耳。 二、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比。在第一 次击打时，将铁钉击入木板 1 ㎝，如果铁锤每次击打铁钉所作的功相等，求锤击第二次 时，铁钉又击入多少㎝？ 三、设一锥形贮水池，深 15m，口径 20m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，问要作功多少？ 四、一物体按规律 x=ct 3 作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由 x=0 移至 x=a 时，克服媒质阻力所作的功

五、一等腰梯形闸门，它的两底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算 闸门的一侧所受的水压力。 六、设一半径为R,中心角为口的圆弧形细棒，线密度为常数P,在圆心处有一质量为m的质 点从，求这细棒对质点M的引力。 七、设有长度为h,线密度为p的均匀细木棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质 量为m的质点M,求这细棒对质点M的引力

104 五、一等腰梯形闸门，它的两底边各长 10m 和 6m，高为 20m，较长的底边与水面相齐，计算 闸门的一侧所受的水压力。 六、设一半径为 R，中心角为 φ 的圆弧形细棒，线密度为常数 ρ，在圆心处有一质量为 m 的质 点 M，求这细棒对质点 M 的引力。 七、 设有长度为 l，线密度为 ρ 的均匀细木棒，在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质 量为 m 的质点 M，求这细棒对质点 M 的引力

复习题 1、设曲线L1:1-x2(01)与x轴、y轴所围成的区域被曲线L2:y=2分成面积 相等的两部分，确定a的值。 2、当a为何值时，y-x2与三直线x-a,x=a+1y-0所围成的图形的面积最小。 3、求双纽线2=a2in20(a>0)所围图形的面积。 4、求由)0m(0S子)及)-0所围平面图形绕x轴旋转所得的立体的体积。 5、求由x=21-,y=22-所围图形的面积。 6用脱粉方运现群号+长号1东一水 105

105 复习题 1、 设曲线 L 1：y=1−x 2（0≤x≤1）与 x 轴、y 轴所围成的区域被曲线 L 2 ：y=ax2 分成面积 相等的两部分，确定 a 的值。 2、 当 a 为何值时，y=x2 与三直线 x=a,x=a+1,y=0 所围成的图形的面积最小。 3、 求双纽线 r 2=a 2 sin2θ（a>0）所围图形的面积。 4、 求由 y=cosx−sinx（0≤x≤ 4  ）及 y=0 所围平面图形绕 x 轴旋转所得的立体的体积。 5、 求由 x=2t−t2，y=2t 2−t 3 所围图形的面积。 6、 用定积分方法证明椭球 1 2 2 2 2 2 2 + +  c z b y a x 的体积为：V= abc 3 4

7、求由一2(0Sx≤1)与)=1及x0所围成的图形绕直线=1旋转而成的旋转体的的体 积。 《、求线-)湘应于0≤兮的孤长， g.求线r=asm号(0心≤的k 10、在[0,1上连续，证明：∫f[leos网]=4∫2f(codk 小、设有曲线-与)一，设此两曲线所围成的图形的面积为，求的值。 106

106 7、 求由 y=x2（0≤x≤1）与 y=1 及 x=0 所围成的图形绕直线 x=1 旋转而成的旋转体的的体 积。 8、 求曲线 y=ln(1−x 2 )相应于 0≤x≤ 2 1 的弧长。 9、 求曲线 3 sin 3  r = a （0≤x≤ 2 1 ）的长。 10、f(x)在 0,1 上连续，证明：  2 0 f [ |cosx| ]dx=4  2 0 f (cosx)dx 11、设有曲线 y=x−x2 与 y=ax，设此两曲线所围成的图形的面积为 2 9 ，求 a 的值