《高等数学》课程教学资源（补充提高）第六章 定积分的应用

第六章定积分应用 一、学习目的与要求 1、能正确应用定积分计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长。 2、能应用定积分计算一些简单的物理量，如功、水压力等。 二、学习重点 应用定积分的元素法建立积分表达式 三、内容提要 (I)求平面图形的面积 由片=f,片=gx)及x=a,x=bb>a)所围成的平面面积为：A=∫f(x)-g(x川 由x=f0以,=g0)及y=cy=dd>c)所围成的平面面积为：A=f)-g川d ()立体的体耗 设A〔x)为几何体在点x处垂直于x轴的横截面面积，x∈[a,),则此几何体积为 V=∫A(xh。特别，平面区域a5xs6 g()≤y≤国a>0)绕x轴旋转一周所形成的旋 转体体积为r=x可f产(m)-g(xk平面区城{a≤x≤6 (8)≤y≤fa>0)绕y轴旋转 一周所形成的旋转体体积为'=2πf(x)-g(x): ()曲线弧长 若曲线方程为y=fx),x∈[a,b,则曲线弧长为s=∫V+f'(x =1ea,1,则线弧长为s=o+DO 若曲线方程为r=x) 若曲线方程为r=r(0),0∈[a,B],则曲线弧长为s=「√(0]+r'(0d0 (N)定积分的物理应用 (1)变力沿直线作功W=∫f(x),其中fx)为变力，物体从x=a运动到x=b. (2)液体的静压力垂直于液体中的平面域一侧所受液体静压力 F=∫gfx)-g(xk,其中4为液体密度，平面域由曲线 =f(x=g(x04≥y2)及x=a,x=b所围，水面与y轴平齐

66 第六章 定积分应用 一、学习目的与要求 1、能正确应用定积分计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长。 2、能应用定积分计算一些简单的物理量，如功、水压力等。 二、学习重点 应用定积分的元素法建立积分表达式 三、内容提要 （I）求平面图形的面积 由 ( ), ( ) , ( ) 1 2 y = f x y = g x 及x = a x = b b  a 所围成的平面面积为：  = − b a A | f (x) g(x) | dx. 由 ( ), ( ) , ( ) 1 2 x = f y x = g y 及y = c y = d d  c 所围成的平面面积为：  = − d c A | f ( y) g( y)| dy. （II）立体的体积 设 A(x) 为几何体在点 x 处垂直于 x 轴的横截面面积， x[a,b], 则此几何体积为  = b a V A(x)dx.。特别，平面区域         ( 0) ( ) ( ) , a g x y f x a x b 绕 x 轴旋转一周所形成的旋 转体体积为  = − b a V [ f (x) g (x)]dx. 2 2  平面区域         ( 0) ( ) ( ) , a g x y f x a x b 绕 y 轴旋转 一周所形成的旋转体体积为  = − b a V 2 x[ f (x) g(x)]dx. （III）曲线弧长 若曲线方程为 y = f (x), x [a,b] ，则曲线弧长为  = +  b a s 1 [ f (x)] dx. 2 若曲线方程为     = = , [ , ] ( ) ( ) t   y y t x x t ，则曲线弧长为  =  +   a s [x (t)] [ y (t)] dt. 2 2 若曲线方程为 r = r( ), [,  ] ，则曲线弧长为  = +    s r  r  d 2 2 [ ( )] [ ( )] （Ⅳ）定积分的物理应用 （1）变力沿直线作功  = b a W f (x)dx, 其中 f (x) 为变力，物体从 x = a 运动到 x = b. （2）液体的静压力 垂直于液体中的平面域一侧所受液体静压力  = − b a F gx[ f (x) g(x)]dx, 其 中  为液体密度，平面域由曲线 y1 = f (x), y2 = g(x)(y1  y2 )及x = a, x = b 所围，水面与 y 轴平齐

3)函数)的平均值了=。-a广f4 四、思考题 1、由定积分的几何意义可知Va2-x产k=? 2、曲线y=smx0≤x≤2m)与x轴所围图形面积为5=∫snxk=0 对吗？为什么？应如何改正？ 3、函数fx)、g(x)在区间可[a、b]上连续，且fx)≥g(x),则由曲线y=f(x,y=gx) 及直线x=a,x=b所围成图形绕x轴旋转的体积是 V-∫fx)-g(x还是V=∫ax)d-∫g2(x)] 4、你能用两种方法求曲线y=sn0≤x≤]与x轴围成的图形绕y轴旋转所成的旋转体 的体积吗？ 五、典型例题分析 例1求曲线y=3c0s0及y=1+cos0所围成图形的公共部分的面积（图6-1）。 由：3cos0 (y=1+cose 利交点滑及m号骨 图61 由于图形关于极轴（即x轴的正半轴）对称，所以，所求面积 420+co0+}9wa01-2+6+(专-51- 小结求平面曲线所围图形的面积，一般步骤为：()先画草图，求出边界曲线有关交点 的坐标。(2)确定积分变量与积分区间。(3)求出面积元素。(4)以面积元素为被积 例2 表式在积分区银积装彻，使得该与直线=2=6和线y:所 求曲线y= 在[2，内的 围成的面积最小。 分析这是利用定积分求平面图形面积与求函数最值的综合应用题。首先应求得曲线上任一 点M(Ko,)处的切线方程，然后利用定积分求出切线与直线x=2,x=6及曲线 y=hx所围图形面积S(xo)的最小值。 解黄线上过点M的切线方程为y一元一大-)由于切点M为在鱼线上 %=hx,所以y=-1+nx。,此切线与直线x=2,x=6和曲线y=nx所围面积 Xo

67 （3）函数 f (x) 的平均值  − = b a f x dx b a y ( ) . 1 四、思考题 1、由定积分的几何意义可知 − − = a a a x dx ? 2 2 2、曲线 y = sin x(0  x  2 ) 与 x 轴所围图形面积为  = = 2 sin 0 a s xdx 对吗？为什么？应如何改正？ 3、函数 f (x) 、g(x) 在区间[ a 、b ]上连续，且 f (x)  g(x) ，则由曲线 y = f (x) ，y = g(x) 及直线 x = a ， x = b 所围成图形绕 x 轴旋转的体积是 V f x g x dx b a 2 [ ( ) ( )]  =  − 还是 [ ( ) ( ) ]? 2 2 V f x dx g x dx b a b  a  =  − 4、你能用两种方法求曲线 y = sin x[0  x ] 与 x 轴围成的图形绕 y 轴旋转所成的旋转体 的体积吗？ 五、典型例题分析 例 1 求曲线  = 3cos 及  =1+ cos 所围成图形的公共部分的面积（图 6-1）。 解 由    = + =     1 cos 3cos 得交点 ) 3 , 2 3 (  A 及 ) 3 , 2 3 (  B − 。 图 6-1 由于图形关于极轴（即 x 轴的正半轴）对称，所以，所求面积 . 4 5 3)] 16 9 8 3 3) ( 16 9 4 9cos ] 2[( 2 1 (1 cos ) 2 1 2[ 2 3 2 3 0 2           = + +  = + + − =   A d d 小结 求平面曲线所围图形的面积，一般步骤为：（1）先画草图，求出边界曲线有关交点 的坐标。（2）确定积分变量与积分区间。（3）求出面积元素。（4）以面积元素为被积 表达式在积分区间上作定积分。 例 2 求曲线 y = ln x 在[2，6]内的一条切线，使得该切线与直线 x = 2, x = 6 和曲线 y = ln x 所 围成的面积最小。 分析 这是利用定积分求平面图形面积与求函数最值的综合应用题。首先应求得曲线上任一 点 M ( , ) 0 0 x y 处的切线方程，然后利用定积分求出切线与直线 x = 2, x = 6 及曲线 y = ln x 所围图形面积 ( ) 0 S x 的最小值。 解 曲线上过点 ( , ) 0 0 M x y 的切线方程为 ( ). 1 0 0 0 x x x y − y = − 由于切点 ( , ) 0 0 M x y 在曲线上， 0 0 y = ln x ,所以 0 0 1 ln x x x y = − + ,此切线与直线 x = 2, x = 6 和曲线 y = ln x 所围面积

5(xo)=fI(-1+x)-xlk-16+4x-6h6+2m2 5x0)=-16+4 x6术， 令S'(xo)=0,得x0=4. 由于 S(4)=>0 所以S(x)在点x。=4取得最小值。故在曲线上，过点(4，In4)的切线即为所求。 所求切线方程为y-n4=（x-4).即y=-1+h4 小结解此类题，易出现的问题是，求得切线方程之后，忽略了切点Mx0,%)在曲线上。正 确的是，x0,y满足曲线方程，y应该用x来表示，进而才能将S(xo)表达成关于x。的 一元函数。 例3在椭圆2+兰=1上挠其长轴旋转成的椭球体上，沿长轴方向打一圆孔，使剩下部分 的体积恰好等于椭球体积的一半，试求该圆孔的直径。 分析如图62所示，此椭球的长半轴在y轴上，沿y轴所打掉体积分三部分。上、下两部分 为体积相等的椭球冠，上椭球冠的体积，可视为以椭圆弧AM为曲边的曲边三角形绕y轴 旋转而成，计算此体积时，应选y为积分变量。中间部分为圆柱体。 解设孔之直径为d=2r,则A点坐标为（心，2V-r2),则打掉部分体积 =2m2.2-r+2= A =4a1-F+2- =-r2+r2产1. 图6-2 球体积=2可=2如0-妙=2-台=根据题意，有 =,-+2-F1- 1-F0-r0-r0分1-2=r=-0608 6

68 为 4ln 6ln 6 2ln 2. 16 ( ) [( 1 ln ) ln ] 6 2 0 0 0 0 0 = − + − = + − +  x x x x dx x x S x , 16 4 ( ) 2 0 0 x x S x + −  = 令 ( ) 0, 4. S x0 = 得x0 = 由于 0, 4 1 , (4) 32 4 ( ) 2 0 3 0  0 = − S =  x x S x 所以 ( ) 0 S x 在点 x0 = 4 取得最小值。故在曲线上，过点（4,ln4）的切线即为所求。 所求切线方程为 ( 4), 4 1 y − ln 4 = x − 即 1 ln 4. 4 = − + x y 小结 解此类题，易出现的问题是，求得切线方程之后，忽略了切点 ( , ) 0 0 M x y 在曲线上。正 确的是， 0 0 x , y 满足曲线方程， 0 y 应该用 0 x 来表示，进而才能将 ( ) 0 S x 表达成关于 0 x 的 一元函数。 例 3 在椭圆 1 4 2 2 + = y x 上绕其长轴旋转成的椭球体上，沿长轴方向打一圆孔，使剩下部分 的体积恰好等于椭球体积的一半，试求该圆孔的直径。 分析 如图 6-2 所示，此椭球的长半轴在 y 轴上，沿 y 轴所打掉体积分三部分。上、下两部分 为体积相等的椭球冠，上椭球冠的体积，可视为以椭圆弧 AM 为曲边的曲边三角形绕 y 轴 旋转而成，计算此体积时，应选 y 为积分变量。中间部分为圆柱体。 解 设孔之直径为 d = 2r ，则 A 点坐标为 ( ,2 1 ) 2 r − r ，则打掉部分体积 V r r x dy r 2 2 2 1 2 2 1 2 2  2 1 2   − =   − + A 2 2 1 3 2 2 2 ] 12 4 1 2 [ r y r r y − =  − +  − [1 1 1 ], 3 8 2 2 2 =  − − r + r − r 图 6-2 球体积   = = − = − = 2 0 2 0 2 0 3 3 2 . 3 8 ] 12 ) 2 [ 4 2  2 (1   y dy y y V x dy 根据题意，有 , 2 1 V1 = V , 3 4 [1 1 1 ] 3 8 2 2 2  − − r + r − r =  , 2 1 ,(1 ) 2 1 1 1 (1 ) 2 2 2 3 2 − − r − r = − r = 0.608, 4 1 , 1 4 1 1 3 3 2 − r = r = − 

故孔的直径d≈1216时的符合题意要求。 小结 的体积，一般选用y为积分变量。 例4求由曲线y2=2p>0)和直线x=号所围图形分别绕直线y=p及y轴旋转，所成旋 可视为以曲线y=-√2x为曲线，AD为底边的曲边梯形绕直线旋转一周所得体积与 曲线y=√2x为曲边，AD为底边的曲边三角形绕直线旋转一周所得体积之差。绕y轴 旋转，选y为积分变量。所求体积V可视为矩形 ↑y ABCD绕y轴旋转所得圆柱体体积与抛物线y2=2Px V=D 为曲边，AB为底边的曲边梯形绕y轴旋转所得体积之差。 解(1)绕直线y=P旋转 V=π∫g(p+2pm)2-π(p-√2m)h -2xfo 2 p ds4p (2)绕y轴旋转 "=-2p-可弟-品p-p 图63 例5求截锥体的体积，其上、下底为半轴长分别等于A,B和ab的椭圆，而高等于h。 分析这是截锥体，实际为一椭圆台(6-4)。上、下底相互平行，且上、下底椭圆中心的联 线垂直于底面 于y轴的椭圆半轴分别为d,b'。则a=a+1-上A-a,b=b+(Q-二(B-b), 酸面面积A=A)=m=xab+(u-a或B-bI-分+a(B-创+M4-aI-月》 故所求体积为：V=40冰=2A+a)B+(4+2a

69 故孔的直径 d 1.216 时的符合题意要求。 小结 用定积分求旋转体的体积，关键是恰当选取积分变量。求绕 x 轴或平行于 x 轴的直线 旋转的旋转体体积，一般选 x 为积分变量。求绕 y 轴或平行于 y 轴的直线旋转的旋转体 的体积，一般选用 y 为积分变量。 例 4 求由曲线 2 2 ( 0) 2 p y = px p  和直线x = 所围图形分别绕直线 y = p及y 轴旋转，所成旋 转体的体积（图 6-3）。 分析 绕直线 y = p 旋转时，因旋转轴平行于 x 轴，故选 x 为积分变量。所求旋转体积 V， 可视为以曲线 y = − 2 px 为曲线，AD 为底边的曲边梯形绕直线旋转一周所得体积与 曲线 y = 2 px 为曲边，AD 为底边的曲边三角形绕直线旋转一周所得体积之差。绕 y 轴 旋转，选 y 为积分变量。所求体积 V 可视为矩形 ABCD 绕 y 轴旋转所得圆柱体体积与抛物线 y 2px 2 = 为曲边，AB 为底边的曲边梯形绕 y 轴旋转所得体积之差。 解 （1）绕直线 y = p 旋转   = + − − 2 0 2 0 2 2 ( 2 ) ( 2 ) p p V  p px dx  p px dx = 3 2 3 2 3 2 0 3 2 3 4 2 2 p xdx 4 2 p p p  =   =   （2）绕 y 轴旋转 − =   − = − = p p dy p p p p y p p V . 5 2 2 10 ) 2 ) 2 ( 2 ( 2 3 3 3 2 2      例 5 求截锥体的体积，其上、下底为半轴长分别等于 A，B 和 a,b 的椭圆，而高等于 h 。 分析 这是截锥体，实际为一椭圆台（6-4）。上、下底相互平行，且上、下底椭圆中心的联 线垂直于底面，即为截锥体的高。垂直于高线的任一截面均为椭圆，其面积易于求出。 因此，这是一平行截面面积为已知的立体。 解 建立坐标系如图。选 y 为积分变量。积分区间为[0， h ]。任取 y[0, h] ，过点 y 且垂直 于 y 轴的椭圆半轴分别为 a  ,b 。则 (1 )( ), (1 )(B b), h y A a b b h y a  = a + − −  = + − − 截面面积 ( ) { ( )( )(1 ) [ ( ) ( )](1 )}. 2 h y a B b b A a h y A = A y = a b =  ab + A − a B − b − + − + − − 故所求体积为：  = = + + + h A a B A a b h V A y dy 0 [(2 ) ( 2 ) ]. 6 ( )  x y O D A C B y=p 图 6-3

图6-4 图6.5 例6求曲线y=∫的全长。 分析所研究曲线是一积分上限函数的图形，要能求出此曲线的全长，首先需确定函数的定 义域。而积分上限的函数其定义域应是使被积函数连续的那些自变量的全体。此愿由 c0sx≥0，及下限为-子推出函数定义域为-号≤x≤号 y'=cosx,ds=+ydx=+cos xdx. 所以s=∫+d=2巨cosk=4 注意+cosx=21eosL.因为-号≤x≤子，所以coscos月 又因积分区间-了，是关于原点对称的区间，被积函数V+c05x关于x是偶函数 故∫」+cosxds=2反cosk 小结求曲线的弧长时，注意公式中的被积函数总是正的，为使弧长取正值，确定定积分限 时，应取上限大于下限。对于封闭曲线，其终点与端点重合，要注意函数的单值性，对 直角坐标方程，要分段计算：对参数方程，定限时，应取动点沿曲线转一周的参数值。 例7求由曲线y2=x2及y=V2-x2所围图形边界的周长。 分析曲线y=√2-x2表示圆心在(0,0)，半径为√2的上半圆周。方程y=x2中，x换 成(-x)表达式不变，曲线关于y轴对称。又因为x2≥0，所以y≥0。图形在x轴上方， 两油公一解指交点小B1以国出商单率图知图65，由于含线关于 轴对称，只需求出第一象限部分图形边界的弧长，再2倍即可。 解5-小可-+a小后在 0

70 3 2 y = x 图 6-4 图 6-5 0 0 x 例 6 求曲线 − = x y xdx 2 cos  的全长。 分析 所研究曲线是一积分上限函数的图形，要能求出此曲线的全长，首先需确定函数的定 义域。而积分上限的函数其定义域应是使被积函数连续的那些自变量的全体。此题由 cos x ≥0，及下限为 2  − ，推出函数定义域为 2  − ≤ x ≤ 2  。 解 cos , 1 1 cos , 2 y  = x ds = + y  dx = + xdx 所以 −  = + = = 2 2 2 0 4. 2 1 cos 2 2 cos    dx x s xdx 注意 | 2 1 cos 2 | cos x + x = ,因为 2  − ≤ x ≤ 2  ，所以 . 2 | cos 2 | cos x x = 又因积分区间 ] 2 , 2 [   − 是关于原点对称的区间，被积函数 1+ cos x 关于 x 是偶函数 故 −  + = 2 2 2 0 . 2 1 cos 2 2 cos    dx x xdx 小结 求曲线的弧长时，注意公式中的被积函数总是正的，为使弧长取正值，确定定积分限 时，应取上限大于下限。对于封闭曲线，其终点与端点重合，要注意函数的单值性，对 直角坐标方程，要分段计算；对参数方程，定限时，应取动点沿曲线转一周的参数值。 例 7 求由曲线 3 2 2 y = x 及y = 2 − x 所围图形边界的周长。 分析 曲线 2 y = 2 − x 表示圆心在（0，0），半径为 2 的上半圆周。方程 3 2 y = x 中， x 换 成（- x ）表达式不变，曲线关于 y 轴对称。又因为 2 x ≥0，所以 y ≥0。图形在 x 轴上方， 再由     = = − 3 2 2 2 y x y x 解出交点 A(1,1)、B（-1，1），画出简单草图如图 6-5。由于曲线关于 y 轴对称，只需求出第一象限部分图形边界的弧长，再 2 倍即可。 解   − = +  = + 1 0 1 0 3 2 1 2 ) 3 2 S 1 y dx 1 ( x dx oA  = x x dx 2 3 1 0 3 1 9 4 +  − y

-引g+ra+=06=15万-s 27 k-寻-a总 所58,9， 说明求平面曲线的弧长，公式并不难掌握，需要指出的是，由于弧长元素d,=V+yk 而√1+y2是一个有理式的情形并不多，所以积分要麻烦一些，而此例是属于积分比较 容易的情形。 例8设有一半径为R,长为1的圆柱体，平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面 相切)，设圆柱体的比重为P(P>1),现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？ 分析建立坐标系如图6-6。设想将柱体分层，在水 x处，厚度为的一层柱体提出 水面所作之功，应分为两部分，一部分是将此薄层提至与水面相切时所作功的近似值 dw 图6-6 图6-7 dm=(p-1(R+x2k,其中2d是此薄层的体积的近似值。 另一部分是将此薄层由与水面相切之处提至现有位置所作功的近似值dW, dm2=p(R-x2dk,所以功元素dW=dm+dW=2[2p-)R-达

71  = + + 1 0 3 2 2 3 1 2 ) 9 4 ) ( 9 4 ( 2 3 x d x . 27 13 13 8 ) | 9 4 ( 1 0 3 3 2 2 − = + x =   − − = +  = + 1 0 1 0 2 2 2 ) 2 1 1 ( dx x x S y dx cA   = − = 1 0 1 0 2 | 2 2 arcsin 2 2 x dx x  4 2 = 所以 ). 4 2 27 13 13 8 2(  + − S = 说明 求平面曲线的弧长，公式并不难掌握，需要指出的是，由于弧长元素 d y dx s 2 = 1+  ， 而 2 1+ y  是一个有理式的情形并不多，所以积分要麻烦一些，而此例是属于积分比较 容易的情形。 例 8 设有一半径为 R，长为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中（圆柱体的侧面与水面 相切），设圆柱体的比重为 ( 1) ，现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？ 分析 建立坐标系如图 6-6。设想将柱体分层，在水深 x 处，厚度为 dx 的一层柱体提出 水面所作之功，应分为两部分，一部分是将此薄层提至与水面相切时所作功的近似值 dW1 R-x y o R+x O y dx x 图 6-6 图 6-7 ( 1)( ) 2 , 1 dW =  − R + x l  ydx 其中 2lydx 是此薄层的体积的近似值。 另一部分是将此薄层由与水面相切之处提至现有位置所作功的近似值 dW2 ( ) 2 , 2 dW =  R − x l  ydx 所以功元素 2 [(2 1) ] . dW = dW1 + dW2 = ly  − R − x dx

解W=∫22p-1)R-x=“21WR2-x2[2p-1)R-xk =∫212p-1)RNR2-x2k=(2p-1mR2.其中∫“21VR2-x2xdk=0, 因为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数。 其次，若坐标原点选择在与水平面相切处，圆的方程为：(x-)2+y2=R2(如图6-7)。 dW=(p-I)x-1-2ydk.dW2=p(2R-x)-1-2yd.dW=dWj+dW2=(2Rp-x)-2lydk. w=∫22Rp-x=∫822r-x2Rp-xd 因为积分区间关于原点不对称，所以计算工作量比前所建立坐标系时大，故对一些应用 问题注意恰当选择坐标系，以使计算简便 y 例9设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 水面，且离水面的距离为，求间门受到的 b 压力。 分析建立坐标系如图68。 酒方程为：手+长-1并校≥b: 图6-8 取y为积分变量，它的变化区间为[-b,),设y,y+d刎为-b,)上任一小区间。椭圆闸 门上相应于此小区间的窄条上各点处的压强近似于h-),(r为水的比重)此窄条面 积近似于2x少=28公-少水，所以压力元素中=2弧(h-以6-少 解p=2-%6-可严 学-7-0一答c 注意若-6<h<点则同门所受压力为p=2仙-6-了严小

72 解 W ly R x dx R  −R = 2 [(2 −1) − ] − = − − − R R 2l R x [(2 1)R x]dx 2 2   − = − − R R l R R x dx 2 2 2 (2 1) (2 1) . 2 =  − lR 其中 − − = R R 2l R x xdx 0, 2 2 因为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数。 其次，若坐标原点选择在与水平面相切处，圆的方程为： 2 2 2 (x − R) + y = R （如图 6-7）。 ( 1) 2 , 1 dW =  − x  l  ydx (2 ) 2 , 2 dW =  R − x  l  ydx (2 ) 2 , 1 2 dW = dW + dW = R − x  lydx 2 (2 ) 2 2 (2 ) . 2 2 0 2 0 W ly R x dx l Rx x R x dx R R = − = − −     因为积分区间关于原点不对称，所以计算工作量比前所建立坐标系时大，故对一些应用 问题注意恰当选择坐标系，以使计算简便。 y 例 9 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 h 水面，且离水面的距离为 h ，求闸门受到的 b 压力。 0 分析 建立坐标系如图 6-8。 dy 椭圆方程为： 1. 2 2 2 2 + = b y a x 并设 h ≥ b ， 取 y 为积分变量，它的变化区间为 [−b,b] ，设 [y, y + dy] 为 [−b,b] 上任一小区间。椭圆闸 门上相应于此小区间的窄条上各点处的压强近似于 r(h − y) ，（ r 为水的比重）此窄条面 积近似于 2 2 , 2 2 b y dy b a x  dy = − 所以压力元素 ( ) . 2 2 2 h y b y dy b ra dp = − − 解 − = − − b b h y b y dy b ar p 2 2 ( ) 2 =   = − − 2 0 2 2 sin 0 2 2 cos 4 0 4  b tdt b ahr b y dy b arh y b t b 令 注意 若 − b  h  b, 则闸门所受压力为  − = − − h b h y b y dy b ar p ( ) . 2 2 2 图 6-8 x