《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 行列式 1.3 n阶行列式的计算

§1.3n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理 和行列式的性质计算行列式的方法，主要涉及的方法 有如下几种。 1.化行列式为特殊类型的行列式 2.降阶法 3.拆行拆列法 4.升阶法（加边法) 5.递推法 6利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法

§1.3 n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理 和行列式的性质计算行列式的方法,主要涉及的方法 有如下几种。 2.降阶法 3.拆行拆列法 4.升阶法（加边法） 5.递推法 6.利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法。 1.化行列式为特殊类型的行列式

1.化行列式为特殊类型的行列式 例1计算 4 3 -1 -2 -6 5 3 1 2 -1 0 3 5 2 4 解： 1 2 -1 0 1 2 -1 0 2+2 分 -2 -6 5 3 3-4r 0 -2 3 3 D 二 三一 4 1 3 -1 4-3 0 -7 7 -1 3 5 2 4 0 -1 5 4

4 1 3 1 2 6 5 3 1 2 1 0 3 5 2 4 − − − − 1 3 1 2 1 0 2 6 5 3 4 1 3 1 3 5 2 4 r r D  − − − = − − 2 1 3 1 4 1 2 4 3 1 2 1 0 0 2 3 3 0 7 7 1 0 1 5 4 r r r r r r + − − − − = − − − − 解： 1.化行列式为特殊类型的行列式 例1 计算

1 2 -1 0 1 2 -1 0 2分r4 0 -1 5 4 3-720 -1 5 4 = 0 -7 7 -1 r4-22 0 0 -28 -29 0 -2 3 3 0 0 -7 -5 1 2 -1 0 1 2 -1 0 54 0 -1 5 4 r4-4 0 -1 5 4 3 0 0 -7 -5 0 0 -7 -5 0 0 -28 -29 0 0 0 -9 =-1×(-1)×(-7)×(-9)=63

2 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 7 7 1 0 2 3 3 r r  − − = − − − 3 2 4 2 7 2 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 28 29 0 0 7 5 r r r r − − − − = − − − − 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 28 29 r r  − − = − − − − − 4 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 0 9 r r − − − = − − − − = −  −  −  − = 1 ( 1) ( 7) ( 9) 63

注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2设多项式 1 1 2 3 1 2-x2 2 3 f(x)= 2 3 1 5 2 3 1 9-x 试求fx)的根

注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2 设多项式 2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 ( ) 2 3 1 5 2 3 1 9 x f x x − = − 试求f(x)的根

解： 1 0 0 0 c2-C1 c3-2c1 1 1-x2 0 0 f(x) C4-3c1 2 1 -3 -1 2 1 -3 3-x2 0 0 1 C4- 33 1 0 0 -3 0 =-31-x2)(4-x2) 2 -3 4-x2 求得孔x)=0的根为x1=-1,x2=1,X3=-2,x4=2

解 : 2 1 3 1 4 1 2 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 ( ) 2 1 3 1 2 1 3 3 c c c c c c x f x x − − − − = − − − − 4 3 1 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 3 0 2 1 3 4 c c x x − − = − − − 2 2 = − − − 3(1 )(4 ) x x 求得f(x)=0的根为x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2

a b b b 例3计算行列式 b a b 。 b D= b b a 。 b b b b a 解：将第2,3.，n列都加到第1列得 a+(n-1)b b b a+(n-1)b a b b D=a+(n-1)b b b a+(n-1)bbb .a

b b b a b b a b b a b b a b b b D          = 解：将第2,3,.，n列都加到第1列得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a n b b b b a n b a b b D a n b b a b a n b b b a + − + − = + − + − 例3计算行列式

1 b b b 1 a b b =[a+(n-1)b] 1 b a . b bb . a 1 b b b 0 a-b 0 0 0 =[a+(n-1b0 0 a-b 0 0 =[a+(n-1)bla-b"时 0 0 0 .a-b

  b b a b a b a b b b b b a n b          1 1 1 1 = + ( −1)   a b a b a b b b b a n b − − − = + −        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 1)  ( 1) ( ) . −1 = + − − n a n b a b

注意：行列式的每一行的各元素之和相等时常用 此法。 例如下面的行列式 x-m X . X x2-m . 1 D- Xn x-m . l X X2 x.-m 1 .Xn-m 1 0 1 -m 0 x:-m (2x,-m(-m) i=l 1 0 m

x x x m x x m x x m x x D n n n − − − =       1 2 1 2 1 2 此法。 注意:行列式的每一行的各元素之和相等时常用 例如下面的行列式 m m x m n i i − − =  − =        1 0 1 0 1 0 0 ( ) 1 1 1 ( )( ) − = =  − − n n i xi m m x x m x m x x x x m n n n n i i − − =  − =       2 2 2 1 1 1 1 ( )

例题4：计算行列式 a 1 1 1 a 0 0 D= 1 0 a, 0 0 解： a11 . 1 ao 0 0 1 41 0 . 0 i=1 1 0 0 D,= 1 0 a 0 1 az 0 1 0 0 . 0 0 an =a,-1a4,a 14

例题4：计算行列式 n n a a a a D          1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 1 0 = n n a a a a D          1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 1 0 = 解: n n i i a a a a a          1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 = − = n n i i a a a a a 1 2  1 0 ) 1 ( = = −

2、降阶法 5 3 -1 2 0 1 7 2 5 2 例题5：计算行列式 D= 0 -2 3 1 0 0 -4 -1 4 0 0 2 3 50 53 -12 0 1 7 2 5 2 5 3 -1 2 D- 0 -2 3 1 0 =2(←1)240 -2 3 1 0 -4 -1 4 0 -4 -1 4 0 2 3 5 0 02 3

例题5:计算行列式 0 2 3 5 0 0 4 1 4 0 0 2 3 1 0 1 7 2 5 2 5 3 1 2 0 − − − − D = 0 2 3 5 0 0 4 1 4 0 0 2 3 1 0 1 7 2 5 2 5 3 1 2 0 − − − − D = 0 2 3 5 0 4 1 4 0 2 3 1 5 3 1 2 2 ( 1) 2 5 − − − − =  − + 2、降阶法