《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 解析函数的级数表示 4.1 复数项级数

第一节复数项级数 一、复数列的极限 二、复数项级数 三、典型例题 四、小结与思考

第一节复数项级数 一、复数列的极限 二、复数项级数 三、典型例题 四、小结与思考

一、复数列的极限 1.定义 设{zn}(n=1,2,)为一复数列，其中 zn=xn+少n,又设z。=x。+y。为一确定的复数， 如果任意给定ε>0，相应地都能找到一个正数 N(),使得当n>N(e)时，有zm-2o<成立. 那末z,称为复数列{zn}当n→o时的极限， 记作limz=zo. 此时也称复数列{zm}收敛于2

1.定义 如果任意给定  0,相应地都能找到一个正数 ( ), ( ) N  使得当 n  N  时,有 zn − z0  成立. { } 那末 z0 称为复数列 zn 当n →时的极限, lim . 0 z z n n = → { } . 0 z z 此时也称复数列 n 收敛于 设{zn } (n =1,2, ) 为一复数列,其中 , n n n z = x + iy 又设 z0 = x0 +iy0 为一确定的复数,2 记作 一、复数列的极限

2.复数列收敛的条件（定理4.） 复数列{zn}(n=1,2,)收敛于z的充要条件是 limx=xo lim y=yo· 1→o0 定理4.1说明：1.可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性， 2.并且两个实数序列相应的和、差、积、商所成序 列的极限的结果可以推广到复数序列

复数列 {z } (n 1,2, )收敛于 z的充要条件是 n =  lim , lim . 0 0 x x y y n n n n = = → → 定理4.1说明:1. 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. 2.并且两个实数序列相应的和、差、积、商所成序 列的极限的结果可以推广到复数序列. 3 2.复数列收敛的条件(定理4.1)

复数列极限的四则运算法则 lim A,=A,lim B=(B≠0) 1->00 则有 lim(An±Bn)=A+B lim A,B =AB n->o0 lim n Bn B

复数列极限的四则运算法则 lim = ,lim = (  0) → → A A Bn B n n n 则有 An Bn A B n  = + → lim( ) An Bn AB n = → lim B A B A n n n = → lim 4

二、 复数项级数 1.定义 设{zn}={xn+yn}(n=1,2,)为一复数列， 表达式∑zn=乙1+z2+.+乙n+. n=1 称为复数项无穷级数， 部分和其最前面n项的和 Sm=乙1十乙2++乙m称为级数的部分和

1.定义 设{zn } ={xn +iyn } (n =1,2, )为一复数列,  = + ++ +  = n n n z z z z 1 2 1 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s = z + z ++ z 1 2 称为级数的部分和. 部分和 5 二、复数项级数 表达式

2.级数收敛与发散 如果级数∑的部分和数列{sn}收敛于常数s, n=1 即有极限lim s=s,那未级数∑z,收敛， n->o n=1 常数s为级数∑的和，记为∑n=s n=] 如果部分和数列{sn}不收敛，即lim s.不存在 n->oc 那末级数∑zn发散 n=1

{ } , 1 z s s n n 如果级数 n 的部分和数列 收敛于常数  = , 1 那末级数  收敛  n= n lim s s , z n n = → 即有极限 如果部分和数列{ }不收敛,即lim 不存在. n n n s s → 1 那末级数  发散.  n= n z 6 2.级数收敛与发散 , . 1 1 s z z s n n n  n  =  =  = 常数 为级数 的和 记为

说明：与实数项级数相同，判断复数项级数敛散 的基本方法：利用极限lim s=s. n->oo ● 例如级数 n=0 n=1+z+z2++z1-1-2 1-z 由于当z<1时， 1-z" lim s lim n→co n-1-z 1-z 所以当z<1时级数收敛

: 0   n= n 例如级数 z 2 -1 1 n n s = + z + z ++ z 由于当 z  1时, z z n − − = 1 1 z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z = 所以当 z  1时级数收敛. 7 : lim . : , s s n n = → 的基本方法 利用极限 说明 与实数项级数相同 判断复数项级数敛散

3.复数项级数收敛的条件 定理4.2 级数 ∑n=∑(x,+y,)收敛于s=a+ib的充要条件 是实数项级数∑xn和∑yn分别收敛于a和b. n=l n=1 说明 复数项级数的收敛问题 (定理4.2) 实数项级数的收敛问题

( ) 1 1 级数  =  + 收敛于s = a +ib的充要条件  =  = n n n n n z x iy 1 1 是实数项级数 和 分别收 敛于a和b .  =  = n n n n x y 定理4.2 说明 复数项级数的收敛问题  实数项级数的收敛问题 (定理4.2) 8 3.复数项级数收敛的条件

因此有关实数项级数的收敛判别定理和性质定理 可以推广到复数项级数中： 例题：判断下列级数是否收敛？ + (2)

例题：判断下列级数是否收敛？ (1 ) 1 1 n i n n  +  =   = + 1 2 (1 ) 1 n n i n (1) (2) 9 可以推广到复数项级数中： 因此有关实数项级数的收敛判别定理和性质定理

因为实数项级数∑x和∑y,收敛的必要条件是 n=1 n=1 limx=0和lim y=0 n-→00 n→∞ 因此有 定理4.3：复数项级数 ∑收敛的必要条件是 n=l lim z =0 n->oo 但是逆命题不成立，因此有重要结论： lim2n≠0→级数∑n发散 n=l 10

   =  = n 1 因为实数项级数 x 和 yn 收敛的必要条件是 n n 1 lim = 0 lim = 0 . → → n n n n x 和 y lim = 0 → n n z 但是逆命题不成立，因此有重要结论: lim 0 . 1 级数 发散  = →   n n n n z z 定理4.3:复数项级数  收敛的必要条件是  n=1 n z 10 因此有