《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 复数与复变函数 1.1 复数

第一节复数 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、复平面

第一节复数 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、复平面

一、复数概念 1.虚数单位： 实例：方程x2=-1在实数集中无解. 为了解方程的需要，引入一个新数i, 称为虚数单位 对虚数单位的规定： (1)i2=-1; (2)i可以与实数在一起按同样的法则进行 四则运算

1. 虚数单位: . , , 称为虚数单位 为了解方程的需要 引入一个新数 i : 1 . 实例 方程 x 2   在实数集中无解 (1) 1; 2 i   . (2) 四则运算 i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 2 对虚数单位的规定： 一、复数概念

2.复数 对于任意两实数x,y,我们称z=x+y 为复数 (1)其中x,y分别称为z的实部和虚部， 记作x=Re(z),y=Ime) (2)当x=0,y≠0时，z=y称为纯虚数， (3)当y=0时，z=x+0i,此时z=x看作实数

2.复数: . , , 为复数 对于任意两实数 x y 我们称 z  x  yi (1)其中 x, y 分别称为 z的实部和虚部, 记作 x Re(z), y  Im(z). (2)当x  0, y  0时, z  iy 称为纯虚数; (3)当 y  0时, z  x  0i, 此时z  x看作实数. 3

复变函数 3复数相等： 设复数乙=x+y,2=x2+y2,如果满足 x1=x2,y=2,则称z与z相等 特别地，复数z=x+y=0一x=0,y=0, 4.共轭复数： 实部相等虚部互为相反数的两个复数称为共 轭复数 如果复数z=x+y,则其共轭复数记为z=x-y 其中实数的共轭复数还是实数

与 . 设 ， ，则称 相等 复数 如果满足 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , x x y y z z z x iy z x iy       4 3.复数相等： 特别地，复数z  x  iy  0  x  0, y  0. 4.共轭复数： 轭复数. 实部相等虚部互为相反 数的两个复数称为共 如果复数z  x  iy,则其共轭复数记为z  x  iy. 其中实数的共轭复数还是实数

二、复数运算 设两复数乙1=x1+少1,2=X2+y2, 1.两复数的和： 乙1±z2=(x1±x2)+i(y1士Jy2)片 2.两复数的积： z1·z2=(x1x2-y1y2)+i(x21+x1y2) 3.两复数的商： =x+2+ixy,. 2 2 2 Z2 x2+y2 x2+y

, , 1 1 1 2 2 2 设两复数 z  x  iy z  x  iy 1. 两复数的和: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 z  z  x  x  i y  y 2. 两复数的积: ( ) ( ). 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 z z  x x  y y  i x y  x y 3. 两复数的商: . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z       5 二、复数运算

4.共轭运算性质 (①)31±22=21±22； 32=2 (2)豆=2； (3)=.3=[Re()+[Im()]; (4)z+z=2x=2R(z),z-z=2y=2iIm(2)

(1) ; 1 2 1 2 z  z  z  z ; 1 2 1 2 zz zz ; 2 1 2 1 z z z z        (2) z  z; (3) Re( ) Im( ) ; 2 2 zz  z  z (4) z  z  2x  2Re(z), z  z  2iy  2iIm(z). 6 4.共轭运算性质

例1：设z=- 137 求Re(z),Im(z),z·z. i 1-i 解 1 Z=- i1-i u04n .-c(oF +(m(-)+-2)-

解 , Re( ),Im( ), . 1 1 3 1 z z z z i i i z   例 ：设    求 i i i z     1 1 3 (1 )(1 ) 3 (1 ) i i i i i i i        , 2 1 2 3   i , 2 1 , Im( ) 2 3 Re(z)  z       2 2 zz  Re(z)  Im(z) 2 2 2 1 2 3                . 2 5  7

例2：化简：，1 +1-i ?1+ii 例3：计算(1) 2+3i 2i 3 2-3i (23-i3-刊

i i i i i    1 1 2 : , 例 ：化简 3 , 2 3 2 3 3 (1) i i   例 ：计算 3 1 3 3 2 (2)   i i i

例4设两复数乙1=X1+y1,2=X2+y2, 证明z1·乙2+Z·z2=2R(z1z2): 证 Z1:Z2+Z1·z2= (x1+y1)x2-y2)+(x1-y1)x2+y2) =(x1X2+y1y2)+i(x2y1-X1y2) +(x12+y1y2)+i(-x2y1+x1'2) =2(x1x2+y1y2)=2Re(z1·Z2): 或乙1Z2+71z2=2+1乙2=2R(31乙2)小

例4 证 , , 1 1 1 2 2 2 设两复数 z  x  iy z  x  iy 2Re( ). 1 2 1 2 1 2 证明 z z  z z  z z z1 z2  z1 z2  ( )( ) ( )( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 x  iy x  iy  x  iy x  iy ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2  x x  y y  i x y  x y ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2  x x  y y  i x y  x y 2( ) 1 2 1 2  x x  y y 2Re( ). 1 2  z z 2Re( ). 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 或 z z  z z  z z  z z  z z 9

三、复数的表示 1复数z=x+y与有序实数对(x,y)成一一 对应.因此，一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数，通常把横轴叫实轴或x轴，纵轴 叫虚轴或y轴.这种用来表示复数的平面叫复平 面. Z=x+0 复数z=x+y可以用复平 (x,y) 面上的点xy)表示 0 10

三、复数的表示 面. 叫虚轴或 轴 这种用来表示复数的平面叫复平 用来表示复数 通常把横轴叫实轴或 轴 纵轴 对应 因此 一个建立了直角坐标系的平面可以 复数 与有序实数对 成一一 . , , . , 1. ( , ) y x z  x  iy x y 面上的点( , )表示. 复数 可以用复平 x y z  x iy  ( x, y) x y x y o zxiy 10