《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理

第二节柯西古萨定理及其推广 一、问题的提出 二、柯西古萨定理及其推广 三、典型例题 四、原函数和不定积分

第二节柯西古萨定理及其推广 一、问题的提出 二、柯西古萨定理及其推广 三、典型例题 四、原函数和不定积分

问题的提出 研究复积分与路径的无关性： 目的 由上节例受到的启发→积分与路径无关与函数 沿着围线的积分值为零有何关系 首先：若复积分与路径无关，则对任意围线C, 在其上任取两点按a(起点)，b(终点) 将曲线C分成两部分C=C1+C2 因为积分与路径无关，所以： cf(z)d=∫f(z)dk →∫cf(z)d=Jf(z)k-∫6，f(z)k=0

一、问题的提出 C C1 C2   目的 研究复积分与路径的无关性: 由上节例受到的启发积分与路径无关与函数 沿着围线的积分值为零有何关系 首先:若复积分与路径无关,则对任意围线C, 在其上任取两点按a(起点),b(终点) b a C C2 C1 将曲线C分成两部分 因为积分与路径无关,所以: 1 2 ( ) ( ) C C f z dz  f z dz   1 2 ( ) ( ) ( ) 0 C C C  f z dz  f z dz  f z dz     2

二、基本定理 定理3.2（柯西积分定理）： 如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，那 末函数f(z)沿D内的任何一条简单闭线C积 分为零： f(=)d-=0. 此定理也称为柯西古萨定理。 定理的证明

B 二、基本定理 定理3.2(柯西积分定理): ( )d 0. ( ) ( )   c f z z f z D C f z 分为零: 末函数 沿 内的任何一条简单闭曲线 积 如果函数 在单连通域 D 内处处解析,那 C 此定理也称为柯西古萨定理. 定理的证明 3

关于定理3.2的说明： (1) 定理3.3设函数f(z)在单连通区域D内解析，z。与 z为D内的任意两点，C与C,为连结z。与z的积分 曲线，C与C,都含于D内，则 重fa=重fe比 即当f(z)为D的解析函数时，积分与路径无关， 而仅由积分路线的起点z和终点z,有关

f z dz f z dz c c  1 2 ( ) ( ) 曲线， 与 都含于 内，则 为 内的任意两点， 与 为连结 与 的积分 定理3.3设函数 在单连通区域 内解析， 与 C C D z D C C z z f z D z 1 2 1 1 2 0 1 0 ( ) 而仅由积分路线的起点 和终点 有关。 即当 为 的解析函数时，积分与路径无关， 0 1 ( ) z z f z D 关于定理3.2的说明: 4 (1)

如果起点为z0,终点为乙1， Zo fry-frd C, 例题计算积分sinzd,其中积分曲线是圆周的上半 圆周并且从0到2

B B  0 z 1 z  0 z 1 z C1 C2 C1 C2 , , 0 1 如果起点为 z 终点为 z    1 2 ( )d ( )d C C f z z f z z 0 2.sin , 圆周并且从 到 例题计算积分 其中积分曲线是圆周的上半 C zdz 5

复变函数 (2)推论2：曲线C是区域D的边界，函数f(z)即在 闭区域D=D+C上解析，则有 重fet=0, 推论3： 曲线C是区域D的边界，函数f(z)在D内 解析，并在闭区域D=D+C上连续，则有 f(=)d==0. (3)柯西古萨定理还可以推广到多连通区域上

  c f (z)dz 0.   c f (z)dz 0. 6 (3)柯西古萨定理还可以推 广到多连通区域上, 闭区域 上解析，则有 推论 ：曲线 是区域 的边界，函数 即在 D D C (2) 2 C D ( )   f z 解析，并在闭区域 上连续，则有 推论 ：曲线 是区域 的边界，函数 在 内 D D C 3 C D ( ) D   f z

下面我们把柯西积分定理推广到多连通区域上. 定理3.4设C,与C,是两条简单闭曲线，并且C,在C 的内部，f(z)在C与C,所围成的二连通域D内解析， 而在D=D+C,+C,连续，则 重fek=重fek 或 c-f()d=0

f z dz f z dz c c  1 2 ( ) ( ) 或 ( ) 0 1 2    C C f z dz 而在 连续，则 的内部， 在 与 所围成的二连通域 内解析， 定理3.4设 与 是两条简单闭曲线，并且 在    1  2 1 2 1 2 2 1 ( ) D D C C f z C C D C C C C 7 下面我们把柯西积分定理推广到多连通区域上

为了讨论方便，添加字符E,E,F,F, 显然曲线AEBB'E'AA,AFB'BFA均为封闭曲线. 因为它们的内部全含于D, 故 tf f(z)dz=0, AEBBE'AA f(z)dz =0. AAFB'BEA AEBBEAA-AEB+BB'+BEA+A, AAFB'BFA-AA+AFB'+BB+BFA

D D1 A A B B E E F F 显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA 为了讨论方便,添加字符 E, E , F, F , 均为封闭曲线 . 因为它们的内部全含于 D, ( )d  0,  AEBBEAA 故 f z z ( )d  0.  AAFBBFA f z z AEBBEAA  AEB  BB  BEA  AA, ︵ ︵ ︵ ︵ AAFBBFA  AA  AFB  BB  BFA, ︵ ︵ ︵ ︵ 8 C1 C2

由 下f(z)dz+ ∫f(z)dz=0,得 AEBB'EA'A AA'FB'BEA ff(=)d=+fr()d=+fr(a)dz+fr(a)dz ff(z)dz+ff(z)dz=0, B BB' 即∮fe)+∮fe)=0, S 或$fe)d:=f(ea

 AEBBEAA 由 f (z)dz  ( )d  0,  AAFBBFA f z z 得 D C1 C2 D1 A A B B E E F F  1 ( )d C f z z    2 ( )d C f z z    AA f (z)dz ︵    A A f (z)dz ︵  ( )d  0,  BB f z z ︵    B B f (z)dz ︵ ( )d ( )d 0, 1 2      C C 即 f z z f z z ( )d ( )d . 1 2    C C 或 f z z f z z 9

定理3.4的意义如下： 在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内的连续变形而改变它的积分 值。因此该定理也成为闭路变形原理

定理3.4的意义如下： 在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内的连续变形而改变它的积分 值。因此该定理也成为闭路变形原理。 10