《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 拉普拉斯变换 8.2 拉普拉斯变换性质

第二节拉普拉斯变换的性质 说明：凡是要求拉普拉斯变换的函数都满足拉普拉 斯变换存在定理的条件，并且这些函数的增长指数 都统一取为C 1.线性性质 设a,B为常数，并且有L(f(t)=F(s),L(g(t)=G(s), 则有 L[af(t)+Bg(t]=aF(s)+BG(s) L[aF(s)+BG(s)]=af(t)+Bg(t)

则有 设,为常数,并且有L( f (t)) = F(s), L(g(t)) = G(s), L[f (t) + g(t)] =F(s) + G(s) 第二节拉普拉斯变换的性质 . , : 都统一取为C 斯变换存在定理的条件 并且这些函数的增长指数 说明 凡是要求拉普拉斯变换的函数都满足拉普拉 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 L F s + G s =f t + g t − 1.线性性质

例题1：求cos wt,.sin wt的拉普拉斯变换 解： 由icosa=-e0+ea)及4em1=,号 2 s-jw Llc0s@xI-(Lle1+Lle-D) ie'sio-yio +1 同样的我们可以求出sin wtp的拉普拉斯变换 Llsint ⊙

例题1:求cost,sint的拉普拉斯变换. ( ) 2 1 cos j t j t t e e    − 由 = +   s j L e j t − = 1 [ ] ( [ ] [ ]) 2 1 [cos ] j t j t L t L e L e    − = + 2 2 ] 1 1 [ 2 1   + = + + − = s s s j s j 解: 及 同样的我们可以求出sin t的拉普拉斯变换. 2 2 [sin ]    + = s L t

5s-1 例题2己知F(s)= 求L[F(s] (s+1)(s-2) 解 5s-1 由F(S)= =21 +3、1 (s+1)s-2)s+1s-2 4e1= 及 s-a ro=2,*3,32e+3e2 例题3求函数f(t)=cos3t+6e3的拉普拉斯变换， 23+6 解：f】=Lcos30]+6e]= S+3

, [ ( )] ( 1)( 2) 5 1 ( ) 1 L F s s s s F s − + − − 例题2已知 = 求 2 1 3 1 1 2 ( 1)( 2) 5 1 ( ) − + + = + − − = s s s s s 由F s   − = s L e t 1 [ ] 解: 及 ] 2 1 ] 3 [ 1 1 [ ( )] 2 [ 1 1 1 − + + = − − − s L s L F s L t t e e 2 = 2 + 3 − 例题3求函数 的拉普拉斯变换. t f t t e 3 ( ) cos3 6 − = + 解: ] t L f t L t L e 3 [ ( )] [cos3 ] [6 − = + 3 1 6 3 2 2 + + + = s s s

1 例题4求F(s)= 的拉普拉斯逆变换 (s-a)(s-b) 解：因为 F[s=ab,'aE, E=a'6e-e]

. ( )( ) 1 例题4求 ( ) 的拉普拉斯逆变换 s a s b F s − − = 解:因为 ] 1 1 [ 1 ( )( ) 1 ( ) s a s b a b s a s b F s − − − − = − − = ]} 1 ] [ 1 { [ 1 [ ( )] 1 1 1 s b L s a L a b L F s − − − − = − − − [ ] 1 [ ( )] 1 a t b t e e a b L F s − − = −

2.相似性质 设L(f(t)=F(s),则对任一常数a>0有 Ua-=rd f(a) 3.微分性质 (1)导函数的像函数 设L(f(t)=F(s),则有L(f(t)=sF(s)-f(O) 对于高阶导数则有 L(f()=s"F(s)-s"f0)-s-2f(0)-fm-(0)

设L( f (t)) = F(s),则对任一常数a  0有 ( ) 1 ( ( )) a s F a L f at = ( )] ( ) 1 [ 1 f at a s F a L = − (1)导函数的像函数 ( ( )) ( ), ( ( )) ( ) (0) ' 设L f t = F s 则有L f t = sF s − f 对于高阶导数则有 ( ( )) ( ) (0) (0) ( ) 1 2 ' L f t s F s s f s f n n n− n− = − − (0) ( −1) − − n  f 2.相似性质 3.微分性质

此性质可用来求微分方程（组）的初值问题 例题3求解下列微分方程的初值问题。 y(t)+o2y(t)=0y(0)=0,y(0)=0 解：对微分方程两边取拉普拉斯变换，并利用线性性 质和微分性质得到 s2Y(s)-y0)-y(0)+o2Y(s)=0 0 代入初值得到 ()= 2+02 再由拉普拉斯逆变换得到 y(t)=sin ot

此性质可用来求微分方程(组)的初值问题 例题3求解下列微分方程的初值问题。 ( ) ( ) 0 '' 2 y t + y t = ' y y (0) 0, (0) = =  质和微分性质得到 解:对微分方程两边取拉普拉斯变换,并利用线性性 ( ) (0) (0) ( ) 0 2 ' 2 s Y s − sy − y + Y s = 2 2 ( )   + = s 代入初值得到 Y s 再由拉普拉斯逆变换得到 y(t) = sin t

例题4求函数f(t)=t"的拉普拉斯变换。 解：方法1直接利用定义求解 41=eh=-产e 可得到递推关系 ]=m Lt"]=m

  +  − +  − = = − 0 0 1 [ ] m m s t m s t t de s L t t e dt  +  − + − − = − + 0 1 0 1 | 1 t me dt s t e s m st m st [ ] [ ] −1 = m m L t s m L t 1 ! [ ] + = m m s m L t 例题4求函数f (t) = t m 的拉普拉斯变换。 解:方法1.直接利用定义求解 可得到递推关系

方法2.利用导数的像函数的性质求解 设f(t)=tm,则fm(t)=ml并且 f(0)=f(0)=.=fm-(0)=0 由上述公式有LLfm)(t)】=s"mLf(t)] 1-m]=gm (2)像函数的导数 设L(f(t)=F(s),则有F'(s)=-L(f(t) L[F(s】=-f(t)

设f (t) = t m ,则f (m) (t) = m!并且 (0) (0) (0) 0 ' ( 1) = = = = m− f f  f [ ( )] [ ( )] ( ) L f t s L f t m m = 1 ! [ !] 1 [ ] + = = m m m s m L m s L t 方法2.利用导数的像函数的性质求解 由上述公式有 (2)像函数的导数 设L( f (t)) = F(s),则有 ( ) ( ( )) ' F s = −L tf t [ ( )] ( ) 1 ' L F s = −tf t −

一般地，对像函数求高阶导数可得到 Fm(s)=(-1)mL(t”f(t) L'[Fm(s】=(-1)t"ft) 例题5求函数f(t)=t2 cos wtf的拉普拉斯变换. 解：己知 kwo=产o 直接利用公式可得 r-。) (s2+02)3

( ) ( 1) ( ( )) ( ) ( ) F s L t f t n n n = − [ ( )] ( 1) ( ) 1 ( ) ( ) L F s t f t n n n = − − 一般地,对像函数求高阶导数可得到 例题5求函数f (t) t cost的拉普拉斯变换. 2 = 解:已知 2 2 [cos ]   + = s s L t 直接利用公式可得 2 2 3 3 2 '' 2 2 2 ( ) 2 6 [ cos ] ( )      + − = + = s s s s L t t

4积分性质 (1)积分的像函数 设L(@》=F(s,则有Lfad=F(s) F()-Sfod 一般地积分多次，有 aa r'Fs训=ifet

(1)积分的像函数 设L( f (t)) = F(s),则有 ( ) 1 ( ( ) ) 0 F s s L f t dt t =  一般地积分多次,有 ( ) 1 ( ( ) ) 0 0 0 F s s L dt dt f t dt n t t t =     = − t F s f t dt s L 0 1 ( )] ( ) 1 [    = − t t t n F s dt dt f t dt s L 0 0 0 1 ( )] ( ) 1 [  4.积分性质