《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点

第一节孤立奇点 一、孤立奇点概念及分类 二、函数零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考

一、孤立奇点概念及分类 第一节孤立奇点 二、函数零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考

一、孤立奇点定义及分类 1.定义4.4若z为函数f(z)的一个奇点，f(z)在z去心 邻域0<z-z<内处处解析，则z称为f(z)的孤立 奇点 例1z=0是函数e, inz 的孤立奇点 z=一1是函数 1 的孤立奇点. z+1

例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 2 奇点 邻域 内处处解析 则 称为 的孤立 定义 若 为函数 的一个奇点 在 去心 0 , ( ) 1. 4.4 ( ) , ( ) 0 0 0 0 z z z f z z f z f z z  −   一、孤立奇点定义及分类

注：奇点不一定是孤立奇点，但孤立奇点一定是奇点 例2指出函数fe)= 1在点z=0的奇点特性 sin- 解函数的奇点为2=0,2= k元 (k=±1，±2，) 1 因为im,1=0, k-→∞kT 即在z=0的不论怎样小的去心邻域内，总有f(?) 的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点

例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解  = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0不是孤立奇点. 3 注:奇点不一定是孤立奇点,但孤立奇点一定是奇点

2.孤立奇点的分类 依据f(z)在其孤立奇点z的去心邻域 0<z-z0<δ内的洛朗级数的情况分为三类： 1.洛朗级数中不出现z-z的负幂项，则z为f(z)可去 奇点 2.洛朗级数中有有限个z-z的负幂项，则z为f(z)的 极点 3.洛朗级数中有无穷多z-z的负幂项，则z为f(z)的 本性奇点

依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的去心邻域  −   0 0 z z 内的洛朗级数的情况分为三类: 4 2.孤立奇点的分类 . 1. , ( ) 0 0 奇点 洛朗级数中不出现z − z 的负幂项 则z 为f z 可去 . 2. , ( ) 0 0 极点 洛朗级数中有有限个z − z 的负幂项 则z 为f z 的 . 3. , ( ) 0 0 本性奇点 洛朗级数中有无穷多z − z 的负幂项 则z 为f z 的

1.可去奇点 (1)洛朗级数中不出现z-z的负幂项，则z为f(z)可去 奇点 f(z)=c+C(亿-z0)+.+cn(z-0)”+. (2)可去奇点的极限特征 定理5.1设函数f(z)在0<z-20<6内解析，那么 z是f(z)的可去奇点的充分必要条件是：存在有 限极限limf(z)=Co,其中C是一复常数

1.可去奇点 . (1) , ( ) 0 0 奇点 洛朗级数中不出现z − z 的负幂项 则z 为f z 可去 (2)可去奇点的极限特征 限极限 其中 是一复常数. 是 的可去奇点的充分必要条件是:存在有 定理5.1设函数 在 内解析,那么 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) ( ) 0 0 f z C C z f z f z z z z z =  −  →  ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n +

说明：(1)z若是f(z)的孤立奇点 f(z)=c+G(亿-z)+.+Cn(?-)”+. (0<z-z<δ) 其和函数F(z)为在解析的函数， (2)无论f(z)在z是否有定义，补充定义 f(z)=c,则函数f(2)在解析. F(z),2≠20 f()=lim f(z) 7→70 f()= C0,2=20

其和函数 F(z) 为在 0 z 解析的函数.    =  = 0 0 0 , ( ), ( ) c z z F z z z f z 说明: (1) ( ) , z0若是f z 的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n + ( 0 ) 0  z − z   ( ) lim ( ) 0 0 f z f z z→z = ( ) , 0 0 f z = c (2) 无论 在 是否有定义, f (z) 0 z 补充定义 则函数 在 0 f (z) z 解析. 6

(3)可去奇点的判定 ()由定义判断：如果f()在z,的洛朗级数无负 幂项则为f(z)的可去奇点. (2)判断极限1imf(z):若极限存在且为有限值， z→z0 则z为f(z)的可去奇点

(1) 由定义判断: 如果 f (z) 在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 0 z 为 f (z) 的可去奇点. (2) 判断极限 lim ( ) : 0 f z z→z 若极限存在且为有限值, 则 0 z 为 f (z) 的可去奇点. 7 (3)可去奇点的判定

例3 sin 1 3 2+1-.中不含负幂项， 5:1 z=0是 sin 的可去奇点. 如果补充定义： 2=0时， sin =1, 那末sin在z=0解析

如果补充定义: z = 0 时, 1, sin = z z 那末 z sin z 在 z = 0 解析. 例3 = − 2 + 4 − 5! 1 3! 1 1 sin z z z z 中不含负幂项, z = 0 是 z sin z 的可去奇点 . 8

例4说明z=0为e-1 的可去奇点 7 解 ei-1 1 =-(1+z+ 2++2+- =1+ 21+,0<z<+ 无负幂项 所以z=0为e-l 的可去奇点

例4 说明 z = 0 为 z e z − 1 的可去奇点. 解 = − z e z 1 , ! 1 2! 1 1 = + ++ z n−1 + n z 0  z  + 所以 z = 0 为 的可去奇点. z e z − 1 无负幂项 1) ! 1 2! 1 (1 1 2 + + ++ +− n z n z z z 9

2.m阶极点 (1)定义如果洛朗级数中只有有限多个？一的 负幂项，其中关于（红一）的最高幂为(？-)m, 即f)=cm(亿-)广"+.+c-(亿-)广2+c1(亿-) +co+C(亿-zo)+.(m≥1，cm≠0) 那末孤立奇点称为函数f(2)的m级极点. 等价形式：z是f(z)的m阶极点的充要条件是 f(z)= -m8(3), 10

1 1 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − f z = c z − z + + c z − z + c z − z m m  (  1,  0) −m + + ( − ) + m c 0 1 0 c c z z ( ) , ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = 1 0 ( ) − z − z ( ) , 0 m z z − 其中关于 的最高幂为 − 即 那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 级极点. (1)定义 0 如果洛朗级数中只有有限多个 z − z 的 负幂项, 等价形式：z0 是f (z)的m阶极点的充要条件是 10 2.m阶极点