《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数 2.1 解析函数

第一节解析函数 一、复变函数的导数 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件 四、小结与思考

第一节 解析函数 一、复变函数的导数 二、解析函数的概念与求导法则 三、函数解析的一个充分必要条件 四、小结与思考

一、 复变函数的导数 定义2.1 设函数w=f(z)定义于区域D,z为D中的一 点，点z。+x不出D的范围 如果极限i f(3+也)-f(3 2存在 △x-0 △ 那末就称f(z)在z可导这个极限值称为f(z)在。 的导数， 记作f'(zo)= dw lim f(2+△)-f(zo) dz △z-0 △

定义2.1 , , ( ) , 0 0 点 点 不出 的范围 设函数 定义于区域 为 中的一 z z D w f z D z D   , ( ) . ( ) 0 0 的导数 那末就称 f z 在z 可导这个极限值称为 f z 在 z . ( ) ( ) lim d d ( ) 0 0 0 0 0 z f z z f z z w f z z z z           记作 , ( ) ( ) lim 0 0 0 如果极限 存在 z f z z f z z      2 一、复变函数的导数

在定义中应注意： (1)z+△z→z(即△z→0)的方式是任意的. 即z。+△z在区域D内以任意方式趋于z时， 比值f(+△)-f都趋于同一个数. △z (2)f(z)在z=z处可导，则f(z)在z=z处连续. (3)称(z)=f'(z)△z=f(z)为f(z)在z=z0 处的微分， (4)如果函数f(z)在区域D内处处可导，我们就 称f(z)在区域内D可导

在定义中应注意: (1) ( 0) . z0  z  z0 即z  的方式是任意的 . ( ) ( ) , 0 0 0 0 比值 都趋于同一个数 即 在区域 内以任意方式趋于 时 z f z z f z z z D z       ( ) . (4) ( ) , 称 在区域内 可导 如果函数 在区域 内处处可导 我们就 f z D f z D (2) ( ) ( ) . f z 在z  z0处可导，则f z 在z  z0处连续 . (3) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 ' 0 处的微分 称df z  f z z  f z dz为f z 在z  z 3

例1求f(z)=z的导数. 解 f(a)=1imfz+△)-f) △z→0 △z (z+△z)2-z2 lim △z→0 △z =lim(2z+△z)=2z. △z-→0 (z2)=2z

例1 ( ) . 求f z  z 2的导数 z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 解 z z z z z        2 2 0 ( ) lim lim(2 ) 0 z z z       2z. (z ) 2z 2   4

例2讨论f(z)=Imz的可导性. 解 △f=f(z+△z)-f(z)_Im(z+△z)-Imz △z △z △z =Imz+ImAz-Im3=Im△ △Z △z Im(△x+iy）= △y △x+i△y △x+iy 当点沿平行于实轴的方向（△y=0)而使△z→0时

例2 讨论f (z)  Im z的可导性 . z f z z f z z f       解  ( ) ( ) z z z z      Im( ) Im z z z z      Im Im Im z z    Im x i y x i y        Im( ) , x i y y      当点沿平行于实轴的方向(y  0)而使z  0时, 5

lim △f=1i fz+△z)-f(z）=lim y -=0, △z→0△z △z-→0 △Z △0△x+i讼y △y=0 当点沿平行于虚轴的方向（△x=0)而使△z→0时， Ay 1 lim =limf(z+△)-f(）=lim, △z→0△Z △z→0 △z 0△x+iAyi” △x=0 当点沿不同的方向使△z→0时，极限值不同， 故f(z)=Imz在复平面上处处不可导

z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 lim 0, 0 0           x i y y y x 当点沿平行于虚轴的方 向(x  0)而使z  0时, z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 , 1 lim 0 0 x i y i y x y           当点沿不同的方向使 z  0时,极限值不同 , 故f (z) Im z在复平面上处处不可导 . 6

例3问f(z)=x+2yi是否可导？ 解 lim Af =lim f(z+△z)-f(z) △z→0△z △z-→0 △z lim (x+△x)+2(y+△y)i-x-2yi △z→0 △z ↑y △x+2△yi lim △y=0 Az→0△x+△yi ⊙ +x 设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z

例3 问f (z)  x  2yi是否可导？ z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z            ( ) 2( ) 2 lim 0 x yi x yi z          2 lim 0 设z  z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z， x y o  z y  0 7

lim △x+2△yi x=1, △z-→0 △x+△yi △x-→0 设z+△z沿着平行于y轴的直线趋向于z, △x+2△yi 2△yi △x=0 lim Az0△x+△yi4-0△yi △y=0 所以f(z)=x+2yi的导数 0 不存在

x y o  z y  0 x yi x yi z         2 lim 0 lim 1, 0       x x x 设z  z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z， x  0 x yi x yi z         2 lim 0 2, 2 lim 0       yi yi y 不存在 所以 的导数 . f (z)  x  2 yi 8

2.求导法则： 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致，并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样，因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来，且证明方法也是相同的. 求导公式与法则： ()(c)=0,其中c为复常数. (2)(z”)=nz-1,，其中n为正整数

2.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c)  0, 其中c为复常数.  (2) ( ) , . z n   nz n1 其中n为正整数 9

(3)[f(z)±g(z)]=f'(z)±g'(z (4)Dag(a]=fg()+fag'(a. 同[k8-fa8gdg8.sa*0 82(z) (6) {fIg(z}=f'(w)g'(z).其中w=g(z) 其中w=f(z)与z=p(w)是 两个互为反函数的函数，且p'(w)≠0 10

(3)  f (z) g(z)  f (z)  g(z).   (4)  f (z)g(z)  f (z)g(z)  f (z)g(z).  . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 2             g z g z f z g z f z g z g z f z (6) f [g(z)]  f (w)g(z). w  g(z)  其中 , ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) 1 (7) ( )        w w f z z w w f z    两个互为反函数的函数 且 其中 与 是 10