《高等数学》课程教学资源（单元测验）第1-7章单元测验（附答案）

第一章函数与极限 一、选择题： 8、设a,≠0，则当()时有 1.函数y=-x+arc0s中的定义城是() 2 二设受 (A)x≤1；(B)-3≤x≤1；(C)(-3,1)； ()m>n;(B)m=n: (C)m<n;(D)m,n任意取. o){xx<1}n{-3≤xs. 9、设k-x0,则g=0 x,0<x≤1 「x-3,4≤x≤0 2.函数+1,0<x53 的定义域是() (A)-1;(B)1:(C)0;(D)不存在. (A)-4≤x≤0：（⑧）≤3：(C(-4,3): 10、时() (D){x-4sxsoufxo<xs3. (A)1;(B)-1;(C0:(D)不存在 二、求下列函数的定义域： 3、函数y=xcosx+sinx是() 1,y=sin(2x+1)+arctanx; (A)偶函数；(B)奇函数： (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 2、(x)=g( 9x-x)-1. 2 条孟数)=I+m受x的最小正周期是() 三、设g(x-1)=2x2-3x-1 2:@):@4,@ (1)试确定a,b,c的值使 g(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c; 乐、函数在定义城() (2)求g(x+1)的表达式 (A)有上界无下界；(B)有下界无上界： 四、求f(x)=(1+x2)sgnx的反函数f一(x). (C)有界，且≤f(x)≤生； 五、求极限： 0有果，且-21452. !2卿+r-2 x-3 6、与f()=√R2等价的函数是() 3、liml+xry炉；4、limr(ee-): (a)x;(B)(E:(C)()3:(D)x. 5、0,mcos交os年s 2 7、当x→0时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无 穷小() x'sin 1 (A)x2;(B)1-c0sx: 6、im2x2-1 (C)x-tanx;(D)In(1+x). 第1页共11页

第 1 页 共 11 页 第一章 函数与极限 一、 选择题： 1．函数 1 1 arccos 2 x y x + = − + 的定义域是（ ） (A) x  1 ； (B) −   3 1 x ； (C) ( 3 , 1 ) − ； (D) x x x x   −   1 3 1    . 2.函数 2 3, 4 0 1,0 3 x x x x  − −     +   的定义域是（ ） (A) −   4 0 x ；(B)  3 ;(C) ( 4 , 3 ) − ; (D) x x x x −      4 0 0 3    . 3、函数 y x x x = + cos sin 是（ ） (A)偶函数； (B)奇函数； (C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数. 4、函数 ( ) 1 cos 2 f x x  = + 的最小正周期是（ ） (A)2  ； (B)  ； (C) 4 ； (D) 1 2 . 5、函数 2 1 x + x 在定义域为（ ） (A)有上界无下界； (B)有下界无上界； (C)有界，且 1 1 2 2   f x( ) ； (D)有界，且 2 2 2 1 x x −   + . 6、与 2 f x x ( ) = 等价的函数是（ ） (A) x ； (B) 2 ( ) x ； (C) 3 3 ( ) x ； (D) x . 7、当 x → 0 时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无 穷小（ ） （A） 2 x ； （B） 1 cos − x ； （C） x x − tan ； （D） ln(1 ) + x . 8、设 0 0 a b, 0,  则当（ ）时有 1 0 1 0 1 0 1 0 . lim . m m m n n x n a x a x a a b x b x b b − → − + + + = + + + . (A) m n  ； (B) m n = ； (C) m n  ； (D) m n, 任意取 . 9、设 1, 1 0 ,0 1 x x x x  − −       ,则 0 lim ( ) x f x → = ( ) (A)-1 ； (B)1 ； (C)0 ； (D)不存在 . 10、 0 lim x x → x （ ） (A)1； (B)-1；(C)0； (D)不存在. 二、求下列函数的定义域： 1 sin(2 1) arctan ; 、y x x = + + 2、 2 9 ) ( ) lg( 1 2 x x  x − = − . 三、 设 2 g x x x ( 1) 2 3 1 − = − − （1）试确定 a b c , , 的值使 2 g x a x b x c ( 1) ( 1) ( 1) − = − + − + ； （2）求 g x( 1) + 的表达式 . 四、 求 2 f x x x ( ) (1 )sgn = + 的反函数 1 f x( ) − . 五、 求极限： 1、 2 2 2 1 lim (1 ) n n n → n + + − ； 2、 3 1 2 lim x 3 x → x + − − ； 3、 2 0 lim(1 ) x x x → + ； 4、 1 lim ( 1) x x x e → − ； 5、当 x  0 时， limcos cos .cos 2 4 2n n x x x → ； 6、 2 2 1 sin lim 2 1 x x x x →+ −

[sinax,x0 的值使f(x)在x=1连续 1 (A)a=b=1;(B)a=-2,b=-1: 七、讨论函数f(x)= xarctan一的连续性，并判 (c)a=1,b=0;(D)a=0,b=1 sin 断其间断点的类型. 6、已知函数f(x)具有任意阶导数，且 八、证明奇次多项式： f"(x)=[f(x，则当n为大于2的正整数时 P(x)=a,x2*+a,x2+.+21(a≠0)至少存 在一个实根. f(x)的n阶导数f(x)是() 第二章导数与微分 一、选邦题： (A)nf(x)*;(B)Mf(x)*: 1、函数f(x)在点x,的导数f"(x)定义为（) (c)If(x):(D)n!lf(x)m (A)fs+△)-fx) 7、若函数x=x(t),y=)对t可导且x'()≠0，又 △r )+A- x=x0的反函数存在且可导，则=() △r (lim)( x() △r (D)lim( x-x。 8、若函数f(x)为可微函数，则心() 2、若函数y=f(x)在点x,处的导数(x)=0,则 (A)与△r无关： 曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的法线() (B)为△x的线性函数 (C)当△r→ 时为△x的高阶无穷小： 侣与结相五：⑧与鞋事来行也不直 (D)与△x为等价无穷小. 9、设函数y=f(x)在点x处可导，当自变量x由x,增 3、若函数f(x)在点x,不连续，则f(x)在x。（) 加到x。+△r时，记△y为f(x)的增量，y为f(x)的 (A)必不可导： (B)必定可导： (C)不一定可导；(D)必无定义. 4、如果f(x)=(),那么f'(x)=0. 微分，卧么于() (A)arcsin2x+arccosx: (A)-1;(B)0:(C)1:(D)o. ⑧)sec2x+tan2x; 10、设函数y=fx)在点x处可导，且()≠0， (C)sin2x+cos'(1-x); 第2顶共11页

第 2 页 共 11 页 六、 设有函数 sin , 1 ( ) ( 1) 1, 1 ax x f x a x x   =   − −  试确定 a 的值使 f x( ) 在 x = 1 连续 . 七、 讨论函数 1 arctan 1 ( ) sin 2 x x f x x  − = 的连续性，并判 断其间断点的类型 . 八、 证明奇次多项式： 2 1 2 0 1 2 1 ( ) n n P x a x a x a n + = + + + + 0 ( 0) a  至少存 在一个实根 . 第二章 导数与微分 一、 选择题： 1、函数 f x( ) 在点 0 x 的导数 0 f x ( ) 定义为（ ） （A） 0 0 f x x f x ( ) ( ) x +  −  ； （B） 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x x f x → x +  −  ； （C） 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x −  ； （D） 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − − ； 2、若函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处的导数 0 f x ( ) 0 = ，则 曲线 y f x = ( ) 在点( 0 0 x f x , ( ) )处的法线（ ） （A）与 x 轴相平行；（B）与 x 轴垂直； （C）与 y 轴相垂直；（D）与 x 轴即不平行也不垂直： 3、若函数 f x( ) 在点 0 x 不连续，则 f x( ) 在 0 x ( ) （A）必不可导； （B）必定可导； （C）不一定可导； （D）必无定义. 4、如果 f x( ) =（ ），那么 f x ( ) 0 = . (A) arcsin2 arccos x x + ； (B) 2 2 sec tan x x + ； (C) 2 2 sin cos (1 ) x x + − ； (D) arctan x + arc cot x . 5、如果 2 , 0 ( ) (1 ), 0 ax e x f x b x x   =   −  处处可导，那末（ ） （A） a b = = 1 ； （B） a b = − = − 2, 1 ； （C） a b = = 1, 0 ； （D） a b = = 0, 1 . 6、已知函数 f x( ) 具有任意阶导数，且   2 f x f x ( ) ( ) = ,则当 n 为大于 2 的正整数时， f x( ) 的 n 阶导数 ( )( ) n f x 是（ ） （A） 1 ![ ( )]n n f x + ； （B） 1 [ ( )]n n f x + ； （C） 2 [ ( )] n f x ； （D） 2 ![ ( )] n n f x . 7、若函数 x x t = ( ) , y y t = ( ) 对 t 可导且 x t ( ) 0  ,又 x x t = ( ) 的反函数存在且可导，则 dy dx =（ ） （A） ( ) ( ) y t x t  ； （B） ( ) ( ) y t x t  −  ； （C） ( ) ( ) y t x t   ； （D） ( ) ( ) y t x t  . 8、若函数 f x( ) 为可微函数，则 dy （ ） （A）与 x 无关； （B）为 x 的线性函数； （C）当  →x 0 时为 x 的高阶无穷小； （D）与 x 为等价无穷小. 9、设函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处可导，当自变量 x 由 0 x 增 加到 0 x x + 时，记 y 为 f x( ) 的增量， dy 为 f x( ) 的 微分， 0 lim x y dy  → x  −  等于（ ） （A）-1； （B）0； （C）1； （D）  . 10、设函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处可导，且 0 f x ( ) 0 

则四餐于《)· (C)它们都先肯定了5点一定存在，而且如果满足定理 条件，就都可以用定理给出的公式计算：的值. (A)0:(B)-1:(C)1:(D)o (D)它们只肯定了：的存在，却没有说出的值是什 二、求下列函数的导数： 么，也没有给出求的方法。 1、y=sin.xIn.x22、y=ar（a>0): 2、 若f(x)在(a,b)可导且f(a)=fb),则( 3、y=(1+x2)ex;4、y=lnlc0s(10+3x2)川： (A)至少存在一点5∈(a,b),使f'(5)=0: 5、设y为x的函数是由方程ln√x2+y2=arctan (B)一定不存在点5∈(a,b),，使f'(5)=0: 确定的： (C)恰存在一点5∈(a,b),使f'(5)=0: 6、设x户+，=(+时，象密 (D)对任意的5∈(a,b),不一定能使f'(5)=0. 3.已知f(x)在[a,b1可导，且方程f)=0在(a,b)有 三、证明x=e'sint,y=e'cost满足方程 两个不同的根a与B,那么在(a,b)( +-24密- d f'(x)=0. 四、已知f(x)={ g-0s,x0其中gx)有二阶 ()必有： a,x=0 (B)可能有； (C)没有： 连线导数，且g(0)=1, (D)无法确定 4、如果f(x)在a,b1连，在(a,b)可导，c为介于 1、确定a的值，使f(x)在X=0点连续 a,b之间的任一点，那么在(a,b)()找到两点 2、求f'(x) ,x,使f)-f(x)=(x2-x)f'(c)成立. 五、设y=xlnx,求f) (A)必能 (B)可能； 大、计算9.02的近似值。 (C)不能：(D)无法确定能 七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此 5、若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米， 问3分钟后人与船相离之速率为多少？ x∈(a,b)时，f'(x)>0,又f(a)0: 一、选择题： 1、 一元函数徽分学的三个中值定理的结论都有一个 (B)f(x)在a,b上单调增加，且f(b)<0: 共同点，即（) (A)它们都给出了点的求法 (C)f(x)在Ia,b上单调减少，且f(b)<0: B)它们都肯定了？点一定存在，且给出了求！的方 法 (D)f(x)在a,b]上单调增加，但f(b)的 第3页共11页

第 3 页 共 11 页 则 0 lim x y dy  → x  −  等于（ ）. （A）0； （B）-1； （C）1； （D）  . 二、求下列函数的导数： 1、 2 y x x = sin ln ； 2、 cosh x y a = （ a  0 ）； 3、 2 sec (1 ) x y x = + ； 4、 2 y x = + ln[cos(10 3 )] ； 5、设 y 为 x 的函数是由方程 2 2 ln arctan y x y x + = 确 定的； 6、设 2 x y y = + ， 3 2 2 u x x = + ( ) ，求 dy du . 三、证明 sin t x e t = ， cos t y e t = 满足方程 2 2 2 ( ) 2( ) d y dy x y x y dx dx + = − . 四、已知 ( ) cos , 0 ( ) , 0 g x x x f x x a x  −   =    = 其中 g x( ) 有二阶 连续导数，且 g(0) 1 = ， 1、确定 a 的值，使 f x( ) 在 X = 0 点连续； 2、求 f x ( ) 五、设 y x x = ln , 求 ( )(1) n f . 六、计算 3 9.02 的近似值 . 七、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时，同时一船在此 人底下以 8 公里/小时之速率划过，此桥比船高 200 米， 问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？ 第三章 微分中值定理 一、 选择题： 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个 共同点，即（ ） （A）它们都给出了ξ点的求法 . （B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方 法。 （C）它们都先肯定了  点一定存在，而且如果满足定理 条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 . （D）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什 么，也没有给出求ξ的方法 . 2、 若 f x( ) 在 ( , ) a b 可导且 f a f b ( ) ( ) = ,则（ ） （A）至少存在一点  ( , ) a b ，使 f ( ) 0  = ； （B）一定不存在点  ( , ) a b ，使 f ( ) 0  = ； （C）恰存在一点  ( , ) a b ，使 f ( ) 0  = ； （D）对任意的  ( , ) a b ，不一定能使 f ( ) 0  = . 3．已知 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，且方程 f(x)=0 在 ( , ) a b 有 两个不同的根  与  ，那么在 ( , ) a b （ ） f x ( ) 0 = . （A）必有； （B）可能有； （C）没有； （D）无法确定. 4、如果 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，在 ( , ) a b 可导， c 为介于 a b, 之间的任一点，那么在 ( , ) a b （ ）找到两点 2 1 x x, ，使 2 1 2 1 f x f x x x f c ( ) ( ) ( ) ( ) − = −  成立. （A）必能； （B）可能； （C）不能； （D）无法确定能 . 5、若 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，在 ( , ) a b 内可导，且 x a b ( , ) 时， f x ( ) 0  ，又 f a( ) 0  ,则（ ）. （A） f x( ) 在 [ , ] a b 上单调增加，且 f b( ) 0  ； （B） f x( ) 在 [ , ] a b 上单调增加，且 f b( ) 0  ； （C） f x( ) 在 [ , ] a b 上单调减少，且 f b( ) 0  ； （D） f x( ) 在 [ , ] a b 上单调增加，但 f b( ) 的

正负号无法确定 体的高和底半轻径成何比例时，圆锥体的体积最大 6、∫(x,)=0是可导函数f(x)在x,点处有极值的( (A)充分条件： 四、若x>0,试证1+0, 七、绘出函数心)=(x+-2的图形。 2 二阶导数"(x)<0,则函数fx)在此区间内(). 八、设f(x)在0，上连续，在(0,1)内可导，且 (A)单调减少，曲线是凹的： (B)单谓减少，曲线是凸的： f0)=0,f仙)=1，试证：对任意给定的正数a,b在 (C)单调增加，曲线是凹的： (D)单调增加，曲线是凸的 )内存在不同的6，使了⑤了a+ 9、设mfx)=limF()=0,且在点a的某 邻域中（点a可除外），f(x)及F(x)都存在， 第四章不定积分 一、选择题： 1、 设F(x,F,(x)是区间I内连续函数f(x)的两个 存在的(). 不同的原函数，且f(x)≠0，则在区间I内必有（) (A)充分条件：(B)必要条件： (C)充分必要条件：(D)既非充分也非必要条件 (A)F(x)+F(x)=C: (B)F(x)-F(x)=C: (C)F(x)=CF(x): (D)F(x)-F(x)=C. 二、求极限 2、若F(x)=fx,则dF(x)=() 1、-6+a(o≥0， x2-a2 (A)f(x):(B)F(x): 24产， (c)f(x)+C:(D)F(x). 三、一个半径为R的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥 3、∫(x)在某区间内具备了条件()就可保证它的原 第4页共1山页

第 4 页 共 11 页 正负号无法确定. 6、 0 f x ( ) 0 = 是可导函数 f x( ) 在 0 x 点处有极值的（ ）. （A）充分条件； （B）必要条件 （C）充要条件； （D）既非必要又非充 分 条件. 7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则（ ）. （A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值； （D）极大值必大于极小值 . 8、若在 ( , ) a b 内，函数 f x( ) 的一阶导数 f x ( ) 0  ， 二阶导数 f x ( ) 0  ,则函数 f x( ) 在此区间内( ). （A）单调减少，曲线是凹的； （B）单调减少，曲线是凸的； （C）单调增加，曲线是凹的； （D）单调增加，曲线是凸的. 9、设 lim ( ) lim ( ) 0 x a x a f x F x → → = = ，且在点 a 的某 邻域中（点 a 可除外）， f x( ) 及 F x( ) 都存在， 且 F x( ) 0  ,则 ( ) lim ( ) x a f x → F x 存在是 ' ' ( ) lim ( ) x a f x → F x 存在的（ ）. （A）充分条件； （B）必要条件； （C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件 . 10、 0 cosh 1 lim x 1 cos x → x − = − （ ）. （A）0； （B） 1 2 − ； （C）1； （D） 1 2 . 二、求极限： 1、 2 2 lim x a x a x a x a → + − + − − （ a  0 ）； 2、 3 1 0 1 tan lim( ) 1 sin x x x → x + + ； 三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥 体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？ 四、若 x  0,试证 ln(1 ) 1 x x x x  +  + . 五、设 3 2 f x ax bx cx d ( ) = + + + 有拐点（1，2），并在 该点有水平切线， f x( ) 交 x 轴于点（3，0），求 f x( ) . 六、确定 a b c , , 的值，使抛物线 2 y ax bx c = + + 与正弦 曲线在点 ( ,1) 2  相切，并有相同的曲率. 七、绘出函数 2 4( 1) ( ) 2 x f x x + = − 的图形. 八、设 f x( ) 在 [0,1] 上 连 续， 在(0,1) 内 可导 ，且 f f (0) 0, (1) 1 = = ,试证：对任意给定的正数 a b, 在 (0,1) 内存在不同的  , ，使 ' ' ( ) ( ) a b a b f f   + = + 第四章 不定积分 一、 选择题： 1、 设 1 2 F x F x ( ), ( ) 是区间 I 内连续函数 f x( ) 的两个 不同的原函数，且 f x( ) 0  ,则在区间 I 内必有（ ） （A） 1 2 F x F x C ( ) ( ) + = ； （B） 1 2 F x F x C ( ) ( )  = ； （C） 1 2 F x CF x ( ) ( ) = ； （D） 1 2 F x F x C ( ) ( ) − = . 2、若 ' F x f x ( ) ( ), = 则 dF x( )  =（ ） （A） f x( ) ；（B） F x( ) ； （C） f x C ( ) + ；（D） F x( ) . 3、 f x( ) 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原

函数一定存在 (A)有极限存在：(B)连续： (c)Ix-+C:(D)-1mx-+C. (B)有界：(D)有有限个间断点 4、下列结论正确的是（) (A)初等函数必存在原函数： (B)每个 定积分都可以表示为初等函数 1a+（） (C)初等函数的原函数必定是初等函数： 1 (D)A,B,C都不对. 9(4r+l)+C: (B)L」 364r+少+C: 5、函数f(x)=(x+x'的一个原函数F(x)=( ) (c)-64x++C,-64x++C 11 11 a)手；®)r 二、求下列不定积分： (o+i:o)3rx+0. x 6、已知一个函数的导数为y=2x,且x=1时y=2, 小∫+t5k:4∫4k: V1+x2 这个函数是() x+1 =: (A)y=x2+C;(B)y=x2+15 (c)y=艺+C:D)y=x+1 je在e:8 a 7、下列积分能用初等函数表出的是（) w产 9∫210∫ 1-x2p 三、设f(x)= [xIn(1+x2),x20 o∫：oj, r+2x-3e,x<0'求j/w。 四、设f(e)=asinx+bcosx,(a,b为不同时为零的 8、∫fx)k=F(x)+C,且x=at+b,则 常数)，求f(x). ∫f)t=() 五、设当x≠0时，∫(x)连续，求 (A)F(x)+C;(B)F(x)+C: [(x)-(1+x)f(x) (c)Fa+b创+C:D)F+创+C. r“e 第五章定积分 g、∫=( 一、选择题： ()nx++C:(®)nx++C: 小=同tn2++4) =（) 第5项共11页

第 5 页 共 11 页 函数一定存在 （A）有极限存在； （B）连续； （B）有界； （D）有有限个间断点 4、下列结论正确的是（ ） （A）初等函数必存在原函数； （B）每个不定积分都可以表示为初等函数； （C）初等函数的原函数必定是初等函数； （D） A B C , , 都不对 . 5、函数 2 f x x x ( ) ( ) = + 的一个原函数 F x( ) = ( ) （A） 4 3 3 x ; （B） 4 2 3 x x ; （C) 2 2 2 ( ) 3 x x x + ; （D） 2 2 ( ) 3 x x x + . 6、已知一个函数的导数为 y x  = 2 ，且 x y = = 1 2 时 , 这个函数是（ ） （A） 2 y x C = + ; （B） 2 y x = +1; （C） 2 2 x y C = + ; （D） y x = + 1 7、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A） 2 x e dx −  ； （B） 3 1 dx + x  ； （C） 1 ln dx x  ； （D） ln x dx x  . 8、 f x dx F x C ( ) ( ) , = +  且 x at b = + , 则 f t dt ( ) =  （ ） （A） F x C ( ) + ； （B） F x C ( ) + ; （C） 1 F at b C ( ) a + + ; （D） F at b C ( ) + + . 9、 2 ln x dx x =  （ ） （A） 1 1 ln x C x x + + ; （B） 1 1 ln x C x x + + ; （C） 1 1 ln x C x x − + ； （D） 1 1 ln x C x x − − + . 10、 10 (4 1) dx x = +  （ ） （A） 9 1 1 9 (4 1) C x + + ； （B） 9 1 1 36 (4 1) C x + + ； （C） 9 1 1 36 (4 1) C x − + + ；（D） 11 1 1 36 (4 1) C x − + + . 二、求下列不定积分： 1、 2 1 1 cos dx x x  ; 2、 2 2 5 dx x x + +  ; 3、 2 2 ln( 1 ) 5 1 x x dx x + + + +  ; 4、 2 2 2 (1 ) x dx + x  ; 5、 2 1 1 dx + − x  ; 6、 2 2 1 1 x dx x x + −  ; 7、 2 (1 ) x x dx e e +  ; 8、 2 x xdx arccos  ; 9、 11 8 4 3 2 x dx x x + +  ; 10、 2 3 arccos (1 ) x dx − x  . 三、设 2 2 ln(1 ), 0 ( ) ( 2 3) , 0 x x x x f x x x e x −  +  =   + −  ，求 f x dx ( )  . 四、设 ' ( ) sin cos x f e a x b x = + ,( a b, 为不同时为零的 常数)，求 f x( ) . 五、 设当 x  0 时， ' f x( ) 连续，求 ' 2 ( ) (1 ) ( ) x xf x x f x dx x e − +  . 第五章 定积分 一、 选择题： 1、 2 2 2 2 2 lim n 1 2 n n n → n n n n     + + + =   + + + ( )

)0:(®)2(c)年D)5 8、设f(x)= 1+ ,则定积分 2、ne+h=() 1+er,x<0 fx-=() (A)ln(x2+):(B)ln(t+): (c)2xln(x2+):(D)2tln(t2+1). (A)1+ln1+:(B)2-ln(1+e2)+ln3: a 1=() ((:(1-m(+) 0:B)1,(c)}0)0 广文职分在) 4.、定积分∫ek的值是（) ()ln4;(B)0:(C)n4:(D)发散 ):B)(c)e,D2. 5、下列积分中，使用变换正确的是( ) 10、广义积分+3=（) w广4点◆=m: ()1-ln3:⑧)2子：(c)n3:D)发散 (B)∫-ek,令x=sint: 环到产号 (c)+r,令1+r=u: 三、求下列函数的导数： 11+x2 (D)∫-F,令r=. R-产 6、下列积分中，值为零的是() (A)x:(B)∫x: 2,由方程，喷定为的藏来会 (c)k;(D)∫x2sina. 四、求下列定积分： 7、已知f0)=1,f2)=3,f(2)=5, 则f(x=（) (A)12:(B)8: :么r-2- (C)7:(D)6. st上+g 1+2 第6页共11页

第 6 页 共 11 页 （A） 0 ； （B） 1 2 ； （C） 4  ； （D） 2  . 2、 2 0 ln( 1) d x t dt dx +  =（ ） （A） 2 ln( 1) x + ； （B） 2 ln( 1) t + ； （C） 2 2 ln( 1) x x + ； （D） 2 2 ln( 1) t t + . 3、 2 0 3 0 sin lim x x t dt → x  =( ) （A） 0 ； （B） 1 ； （C） 1 3 ； （D）  . 4.、定积分 1 0 x e dx  的值是（ ） （A） e ； （B） 1 2 ； （C） 1 2 e ； （D） 2 . 5、下列积分中，使用变换正确的是（ ） （A） 3 0 , 1 sin dx x  +  令 x arctgt = ； （B） 3 3 2 0 x x dx 1−  ，令 x t = sin ； （C） 2 2 2 1 ln(1 ) 1 x x dx − x + +  ，令 2 1+ = x u ； （D） 1 2 1 1 x dx − −  ，令 1 3 x t = . 6、下列积分中，值为零的是（ ） （A） 1 2 1 x dx − ； (B） 2 3 1 x dx − ； （C） 1 1 dx − ； （D） 1 2 1 x xdx sin − . 7、 已知 ' f f f (0) 1 , (2) 3 , (2) 5 = = = , 则 2 '' 0 xf x dx ( ) =  （ ） （A）12； （B）8； （C）7； （D）6. 8、设 1 , 0 1 ( ) 1 , 0 1 x x x f x x e    + =     + ，则定积分 2 0 f x dx ( 1) − =  （ ） （A） 1 1 ln(1 ) e + + ； （B） 2 2 ln(1 ) ln 3 − + + e ； （C） 1 1 ln(1 e + + ; （D） 1 1 ln(1 ) e − + . 9、广义积分 2 2 2 dx x x + + −  =（ ） （A） ln 4 ； （B） 0 ；（C） 1 ln4 3 ； （D）发散. 10、广义积分 2 2 0 4 3 dx x x = − +  （ ） （A） 1 ln3 − ；（B） 1 2 ln 2 3 ；（C） ln3 ；（D）发散. 二、证明不等式: 1 2 0 1 2 6 1 n dx x    −  . 三、求下列函数的导数： 1、 3 2 4 ( ) 1 x x dt F x t = +  ; 2.、由方程 2 0 x sin t dt t  ，确定 y x 为 的 函数，求 dy dx . 四、求下列定积分： 1、 4 1 (1 ) dx x x +  ； 2、 0 2 2 a dx x a x + −  ； 3、 3 0 arcsin 1 x dx + x  ； 4、 5 2 2 x x dx 2 3 − − −  ； 5、 1 1 1 1 2x dx − +  ； 6、 2 4 9 dx x x + − + +  ；

s广 W14r:国f6-M:(072:o)24r 五、设fx)在[0,1]上有连续导数，∫0)=0， 5、用一平面截半r的球，设截得的部分球体高 为h(00)自点(0,0)至点号，P 成的区域的面积S=（) 的一段曲线弧长L=(): 2-中8)e-之 )[5+ln+2可]+plap: (c)( @5+号m+a: 2、曲线r=√互sin0与r2=cos28所围图形公共部分 的面积S=(): (c)52+Inp1+2: + 4 o)2v5+a1+21. 二、在区间[1，e]内求x,使y=nx,y=0, 3、曲线x=acos'，y=asin'0所围图形的面积 y=1及x=x所图成两块面积之和为最小。 S=() 三、设曲边梯形是由连续曲线y=f(x)f(x)>0, 3 163 x抽与两直线x=a,x=b所围成的，求证：存在 4、由球面x2+y2+z2=9与旋转锥面x2+y2=8z2之 直线x=专（传∈(a,b)将曲边梯形的面积平分 间包含z轴的部分的体积V=(): 第7页共11页

第 7 页 共 11 页 7、 2 1 2 3 2 1 dx x x x − −  ； 8、 1 1 1 dx x x + −  . 五、 设 f x( ) 0 , 1 在  上有连续导数， f (0) 0 , = 且 0 ( ) 1   f x  ,试证：   2 1 1 3 0 0 f x dx f x dx ( ) ( )          . 六、 设 f x( ) 在[0，1]上有二阶连续导数，证明： 1 '' 0 1 (1 ) ( ) 2 x x f x dx −  . 第六章 定积分的应用 一、 选择题： 1、 曲线 y x = ln 与直线 1 x e = ， x e = 及 y = 0 所围 成的区域的面积 S = （ ）； （A） 1 2(1 ) e − ； （B） 1 e e − ； （C） 1 e e + ； （D） [ 2 ln (1 2)] 2 p + + p . 2、曲线 r = 2 sin 与 2 r = cos 2 所围图形公共部分 的面积 S = （ ）； （A） 1 3 12 2  − + ； （B） 3 1 24 4  − + ； （C） 3 1 12 2  − + ； （D） 1 3 6 2  − + . 3、曲线 3 x a = cos ,  3 y a = sin  所围图形的面积 S = （ ） ； （A） 3 2 32 a ； （B） 3 2 8 a ； （C） 1 2 2 a ； （D） 1 2 16 a . 4、由球面 2 2 2 x y z + + = 9 与旋转锥面 2 2 2 x y z + = 8 之 间包含 z 轴的部分的体积 V = ( )； （A） 144 ；（B） 2 (3 ) 4 h r h  − ；（C） 72 ；（D） 24 5、用一平面截半 r 的球，设截得的部分球体高 为 h h r (0 2 )   体 积为V ，则 V = （ ）； （A） 2 (2 ) 3 h r h  − ； （B） 2 (3 ) 3 h r h  − ； （C） 2 h r h (2 ) − ； （D） 2 (3 ) 4 h r h  − . 6、曲线 2 y x x = − + 2 4 上点 0 M ( 0 , 4 ) 处的切线 M0 与曲线 2 y x = − 2( 1) 所围图形的面积 S = （ ）； （A） 9 ; 4 （B） 4 9 ； （C） 13 12 ； （D） 21 4 . 7、抛物线 2 y px = 2 , ( 0) p  自点 ( 0 , 0 ) 至点 , 2 p p 的一段曲线弧长 L =（ ）； (A) 2 ln(1 2) ln 2 p   + + + p p   ； (B) 2 1 [ 2 ln(1 2) 2 2 p p p + + ； (C) [ 2 ln (1 2)] 2 p + + p ； (D) [ 2 ln(1 2)] 2 p + + . 二、在区间  1, e  内求 0 x ，使 y x y = = ln , 0 , y = 1 及 0 x x = 所围成两块面积之和为最小 . 三 、设曲边梯形是由连续曲线 y f x = ( ) f x( ) 0  ， x 轴 与两直线 x a x b = = , 所围成的，求证：存在 直线 x =  ( ( , ))   a b 将曲边梯形的面积平分

四、求摆线=a-si) =al-cos)(0sts2) Ay-cx+C+Cx+C3: 1、绕x抽旋转一周所成曲面的面积： @圆J=x+C2+Cx+Ci 2、绕x抽旋转一周所成曲面的面积 (C)y=cosx+C:(D)y=2sin2x 五、有一痕转体，它由曲线)=1中 1 ,绕x轴，绕x轴 5、方程y+y'=0的通解是(). 以及直线x=1所围成的平面图形绕x轴旋转而成，已 (A)y=sinx-cosx+C 知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴 (B)y=Csinx-C cosx+C: 的距离，求它的质量， 六、以a的流量往半径为R的半球形水池内注水 (C)y=sinx+cosx+C:(D)y=sinx-C. 1、求在水池中水深h(0<h<R)时水面上升的速 6、若y,和，是二阶济次线性方程 2、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？ y"+P(x)y'+Q(x)y=0的两个特解则 第七章徹微分方程 y=C以+C丛（其中C1,C,为任意常数）() 一、 选择题 (A)是该方程的通解： (B)是该方程的解 1、一阶线性非齐次徽分方程y=P(x)y+Q(x)的通 (C)是该方程的特解：(D)不一定是该方程的解。 解是(). 7、求方程y-(y2=0的通解时，可令(). y=Q()e在+C: )y=P,则=P:(B)y=P,则=P ()fQ(e: (c)y()eCl @R=P熙=R斯= d D)y=ce寸P 8、已知方程xy”+y-y=0的一个特解为y=x,于 2、方程'=√x2+y2+y是(). 是方程的通解为(). (A)齐次方程；(B)一阶线性方程： y=Cx+C,®)y=Cx+C, (C)可分离变量方程. 3、x2+y2=0,y()=2的特解是() (C)y=Cx+C:e*;(D)y=Cx+C:e-* (A)x2+y2=2:(B)x3+y3=9: 9、已知方程y+P(x)y'+2(xy=0的一个特， 则另一个与它线性无关的特解为(). w= 4、方程y"=sinx的通解是(). 第8页共11页

第 8 页 共 11 页 四、求摆线 ( sin ) (1 cos ) x a t t y a t  = −   = − ，( 0 2 )  t  1、绕 x 轴 旋转一周所成曲面的面积 ； 2、绕 x 轴 旋转一周所成曲面的面积 . 五、有一旋转体，它由曲线 2 1 1 y x = + ，绕 x 轴，绕 x 轴 以及直线 x = 1 所围成的平面图形 绕 x 轴 旋转而成，已 知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴 的距离，求它的质量 . 六、以 a 的流量往半 径为 R 的半球形水池内注水 1、 求在水池中水深 h h R ( 0 )   时水面上升的速 度； 2、 若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？ 第七章 微分方程 一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程 y P x y Q x  = + ( ) ( ) 的通 解是( ). (A) ( ) ( ) [ ( ) ] P x dx P x dx y e Q x e dx C −   = +  ； (B) ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx y e Q x e dx −   =  ； (C) ( ) ( ) [ ( ) ] P x dx P x dx y e Q x e dx C −   = +  ； (D) P x dx ( ) y ce −  = . 2、方程 2 2 xy x y y  = + + 是( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性方程； (C)可分离变量方程 . 3、 2 2 x dx y dy y + = = 0, (1) 2 的特解是( ). (A) 2 2 x y + = 2 ； (B) 3 3 x y + = 9 ； (C) 3 3 x y + = 1 ； (D) 3 3 1 3 3 x y + = . 4、方程 y x  = sin 的通解是( ). (A) 2 1 2 3 1 cos 2 y x C x C x C = + + + ； (B) 2 1 2 3 1 sin 2 y x C x C x C = + + + ； (C) 1 y x C = + cos ； (D) y x = 2sin 2 . 5、方程 y y   + = 0 的通解是( ). (A) 1 y x x C = − + sin cos ； (B) 1 2 3 y C x C x C = − + sin cos ； (C) 1 y x x C = + + sin cos ；(D) 1 y x C = − sin . 6、若 1 y 和 2 y 是二阶齐次线性方程 y P x y Q x y   + + = ( ) ( ) 0 的两个特解,则 1 1 2 2 y C y C y = + (其中 1 2 C C, 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)是该方程的特解； (D)不一定是该方程的解. 7、求方程 2 yy y   − = ( ) 0 的通解时,可令( ). (A) y P y P    = = ,则 ； (B) , dP y P y P dy   = = 则 ； (C) , dP y P y P dx   = = 则 ； (D) , dP y P y P dy    = = 则 . 8、已知方程 2 x y xy y   + − = 0 的一个特解为 y x = ,于 是方程的通解为( ). (A) 2 1 2 y C x C x = + ； (B) 1 2 1 y C x C x = + ； (C) 1 2 x y C x C e = + ； (D) 1 2 x y C x C e− = + . 9、已知方程 y P x y Q x y   + + = ( ) ( ) 0 的一个特 1 y , 则另一个与它线性无关的特解为( ). (A) ( ) 2 1 2 1 1 P x dx y y e dx y −  =  ；

@⅓时片在， x)cosx+20)sint恤=x+1,求(x. (⊙=小上ePe在 七、我舰向正东1海里处的敌舰发射制导鱼雷，鱼雷 y 在航行中始终对准敌舰.设敌舰以，沿正北方向直线行 0为在 驶，已知鱼臂速度是敌舰速度的两倍，求鱼臂的航行曲线 方程，并问敌舰航行多远时，将被鱼雷击中？ 10、方程y-3y+2y=ecos2x的一个特解形式是 (). (A)y=Ae*cos2x (B)y=Axe*cos2x+Bxe*sin2x: (C)y=+Be'sin2x: (D)y=A x'e*cos2x+B x'e*sin2x. 二、求下列一阶徽分方程的通解： 1、yInx+y=ax(Inx+-1): 2来+w-了=0， ++0 三、求下列高阶徽分方程的通解： 1、y-y2-1=0: 2、y"+y'-2y=xe+4) 四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解： 1、y+2(x2-y2)=0,x=1时，y=1; 五、已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标，求它的方程 大、设可导函数(x)满足 第9页共11页

第 9 页 共 11 页 (B) ( ) 2 1 2 1 1 P x dx y y e dx y  =  ； (C) ( ) 2 1 1 1 P x dx y y e dx y −  =  ； (D) ( ) 2 1 1 1 P x dx y y e dx y  =  . 10、方程 3 2 cos2 x y y y e x   − + = 的一个特解形式是 ( ). (A) 1 cos 2 x y A e x = ； (B) 1 1 cos 2 sin 2 x x y A xe x B xe x = + ； (C) 1 1 cos 2 sin 2 x x y A e x B e x = + ； (D) 2 2 1 1 cos 2 sin 2 x x y A x e x B x e x = + . 二、 求下列一阶微分方程的通解: 1、 xy x y ax x ln (ln 1) + = + ； 2、 3 3 0 dy xy x y dx + − = ； 3、 2 2 0 ydx xdy xdx ydy x y − + + = + . 三、 求下列高阶微分方程的通解: 1、 2 yy y   − − =1 0 ； 2、 2 ( 4) x y y y x e    + − = + . 四、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、 3 2 2 y dx x xy dy + − = 2( ) 0 , x y = = 1 1 时， ； 2、 y y y x   + + = 2 cos , 3 0 0, 2 x y y = = = 时，  . 五、已知某曲线经过点 ( 1 , 1 ) ,它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标,求它的方程 . 六、 设可导函数 ( ) x 满足 0 ( )cos 2 ( )sin 1 x   x x t tdt x + = +  , 求 ( ) x . 七、 我舰向正东 1海里 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷 在航行中始终对准敌舰.设敌舰以 0 v 沿正北方向直线行 驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷的航行曲线 方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击中?

第一章函数与极限测验题答案 -、1、B:2、D:3、B:4、C:5、C (x)+sin x-()-cosxl0 6、D:7、C;8、B:9、D:10、D: 2、f'x= 二、1、(-0，+oo:2、[4,5]. 店eo+hx=0 三、a=2,b=1,c=0,g(x+1)=2x2+5x+3 五、)=(-1)-2(n-2 √x-i,x>1 六、2.09. 四、f-(x)={0,x=0 七、 -√-(x+1),x<-1 君816公里小即. 五、1小2子4山50， 第三章微分中值定理测验题答案 -、1、D:2、D:3、A4、B:5、D: 6、B;7、C:8、D:9、B:10、C. 二1小 1 :公、：3、4、不存在 六、a=-±26m(k=012 三、√5：1. 七、x=0可去间断点，x=1跳跃间断点， x=2(n=L,士2，无穷间断点，x为其它实数时 五=-+-+ f(x)连线. 六=受+1写 第二章导数与徽分测验题答案 1小D2B:3A:4D,5D 第四章不定积分测验题答案 6、A:7、C:8、B:9、B:10、A -、1、D:2、D:3、B:4、D:5、D: 二、1、cosxInx2+2sinx 6、B:7、D:8、B:9、D:10、C. 1 2.x 3、3n(x++r)+5j+C 3+rmamxnl+r)+i+xsecx: 1 4、6xtan(10+3x2): 4、2mgr-21++ 5士nr+C, 6、 3(2y+10(2x+10N2+x 四、1、a=g'0): 7、-ew-arctan(e)+C; 第10页共11页

第 10 页 共 11 页 第一章 函数与极限 测验题答案 一、1、B； 2、D； 3、B； 4、C； 5、C； 6、D； 7、C； 8、B； 9、D； 10、D； 二、1、( , ); − + 2、[4,5]. 三、 2 a b c g x x x = = = + = + + 2, 1, 0, ( 1) 2 5 3 . 四、 1 1, 1 ( ) 0, 0 ( 1), 1 x x f x x x x −  −   = =   − − +  −  . 五、1、2； 2、 1 4 ； 3、 2 e ； 4、1； 5、 sin x x ； 6、 2 2 . 六、 2 2 a k  = −   ( 0,1,2, ) k = 七、 x = 0 可去间断点, x = 1 跳跃间断点, x n n = =   2 ( 1, 2, ) 无穷间断点, x 为其它实数时 f x( ) 连续. 第二章 导数与微分 测验题答案 一、1、D； 2、B； 3、A； 4、D； 5、D； 6、A； 7、C； 8、B； 9、B； 10、A； 二、1、 2 2sin cos ln x x x x + ； 2、 cosh ln sinh x a xa ； 3、 2 sec 2 2 2 (1 ) [tan ln(1 ) ]sec 1 x x x x x x x + + + + ； 4、 2 6 tan(10 3 ) x x + ； 5、 x y x y + − ； 6、 2 1 3(2 1)(2 1) y x x x + + + . 四、1、 a g = (0) ； 2、 2 [ ( ) sin ] [ ( ) cos ], 0 ( ) 1 ( (0) 1), 0 2 x g x x g x x x x f x g x   + − −    =    + =  . 五、 ( ) 2 (1) ( 1) ( 2)! n n f n − = − − . 六、2.09. 七、 20 8.16 6  (公里/小时). 第三章 微分中值定理 测验题答案 一、1、D； 2、D； 3、A； 4、B； 5、D； 6、B； 7、C； 8、D； 9、B； 10、C. 二、1、 1 2a ； 2、 1 2 e ； 3、 1 2 ； 4、不存在. 三、 2 :1 . 五、 1 3 3 9 3 2 ( ) 4 4 4 4 f x x x x = − + − + . 六、 2 1 2 1 2 2 8 y x x   =  +  . 第四章 不定积分 测验题答案 一、1、D； 2、D； 3、B； 4、D； 5、D； 6、B； 7、D； 8、B； 9、D； 10、C. 二、1、 1 sin C x − + ； 2、 1 1 2 2 x arctg C + + ； 3、 2 2 3 2 [ln( 1 ) 5] 3 x x C + + + + ； 4、 1 2 arctgx 2 1 2 1 x C x + + ； 5、 2 1 1 arcsin x x C x x − + + + ； 6、 2 1 1 arcsin x C x x − − + ； 7、 arctan( ) x x e e C − − − + ；